2006年杭州市第二次高考科目教学质量检测
数学试题卷（理科）
考生须知:
1. 本卷满分150分, 考试时间120分钟.
2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名. 3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效. 4. 考试结束, 只需上交答题卷.
参考公式
如果事件A,B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B); 如果事件A,B相互独立，那么 P(A?B)?P(A)?P(B);
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
kkPn(k)?CnP(1?P)n?k.
球的体积公式：V?43?R（其中R表示球的半径） 32 球的表面积公式：S?4?R（其中R表示球的半径）
一. 选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要
求的 . 1. 若z1=
?1?3i?1?3i，z2=，则有 ( ) 2222 (A) z1z2?z1 (B) z1z2?z2 (C) z1z2?1 (D) 2z1z2??1
2. 函数f ( x) = 1 – 2cos2x x?R 是 ( )
(A) 最小正周期为?的偶函数 (B) 最小正周期为?的奇函数 (C) 最小正周期为??的偶函数 (D) 最小正周期为122
?的奇函数
x2y23??1的右焦点到直线y?3. 椭圆x的距离是( ) 433(A)
13 (B) (C)1 (D)3 224. 已知| a | = | b | = 2, a·b = -2, 且(a + b)⊥(a + tb), 则实数t的值为( ） (A) –1 (B) 1 (C) –2 (D) 2
??????x2y2PF??15. 已知P是以F1 ， F2为焦点的双曲线2上的一点，若1?PF2=0，tan∠PF1F2= 2，,则此双曲线的2ab离心率为 （ ） (A)
5 (B) 5 (C) 25 (D) 3
6. 已知函数y = log2x的图像C，做下列变换并把所得图像画在同一直角坐标系中： (1) 把C向上平移1个单位得到图像C1； (2)把C上每一点的横坐标缩小到原来的(3) 把C向左平移
1，纵坐标不变得到图象C2， 21个单位得到图像C3 ， 2(4)把C关于直线y = x对称得到图像C4. 则下列正确的一个判断是（ ）
(A) 图像C1与C2重合. (B) 图像C1与C4重合 (C) 图像C2与C3重合. (D) 图像C2与C4重合.
7. 已知正方体ABCD?A1BC11D1的棱长为1，E为棱AA1的中点，直线l过E点与异面直线BC、C1D1分别相交于M、N两点，则线段MN的长等于（ C ） (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 8. 已知数列{an}满足条件: a1 =于 ( ) (A) 1 (B)
137,an+1=an(1– an), 则对任意正偶数n,an+1–an=的概率等7721n?1n?1 (C) (D) 22n2n9. 某旅馆有三人间, 两人间, 单人间三种房间各一间, 有三位成人带两个小孩来此住宿, 小孩不宜单住一间(必须有成人陪同), 则不同的安排住宿方法有 ( ) (A)35种 (B)27种 (C)21种 (D)18种
10. 设f ( x) = x3 + bx2 + cx + d ，又k是一个常数. 已知当k < 0或 k > 4时，f ( x ) – k = 0只有一个实根；当0 <
k < 4时，f ( x ) – k = 0有三个相异实根, 现给出下列命题： (1) f ( x ) – 4 = 0和f ` ( x ) = 0有一个相同的实根；
(2) f ( x ) = 0和f ` ( x ) = 0有一个相同的实根；
(3) f ( x ) + 3 = 0的实根大于f ( x ) – 1 = 0的任一实根；
(4) f ( x ) + 4 = 0的实根小于f ( x ) – 2 = 0的任一实根.； 其中，错误命题的个数是（ ） (A)4 (B)3 (C)2 (D)1
二．填空题: 本大题有4小题, 每小题4分, 共16分. 把答案填在答题卷的相应位置.
11. 在直角坐标系中，有四点A(– 1,2), B (0 ,1), C (1 ,2), D (x ,y)同时位于一条拋物线上，则x与y满足的关系式是 .
12. 已知函数f ( x ) = 1 – 3(x – 1 ) + 3(x -1)2 – ( x -1)3,则f – 1(8) = ___ 13. 设f ( x ) = sinx+cosx, 若
?4?x1?x2??2, 则f(x1)与f(x2)的大小关系是
14. 有如下四个命题：
①平面?和平面?垂直的充要条件是平面?内至少有一条直线与平面?垂直；
②平面?和平面?平行的一个必要不充分条件是?内有无数条直线与平面?平行； ③直线a与平面?平行的一个充分不必要条件是平面?内有一条直线与直线a平行； ④两条直线平行是这两条直线在一个平面内的射影互相平行的既不充分也不必要条件. 其中正确的序号是 ．
三. 解答题: 本大题有6小题, 每小题14分，共84分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
(sinx?cosx)215. (本小题满分14分)已知f(x)?.
2?2sin2x?cos22x(1)求f(x)的定义域、值域； (2)若f(x)=2，?
?3??x?，求x的值. 44
16. (本小题满分14分)
由计算机随机选出大批正整数，取其最高位数字（如 35为3，110为1）的次数构成一个分布，已知这个分布中，数字1，2，3，…，9出现的概率正好构成一个首项为其最高位数字为? (?=1,2,…,9). (1) 求?的概率分布； (2) 求?的期望E?；
17．(本小题满分14分)
如图, 在四棱锥P-ABCD中，顶点P在底面ABCD内的射影恰好落在AB的中点O上，又∠BAD= 90°，BC ∥AD，且BC：AB：AD=1：2：2.
(1) 求证:PD⊥AC；
(2) 若PO = BC, 求直线PD与AB所成的角； (3) 若平面APB与平面PCD所成的角为60°，求
18 .(本小题满分14分)
椭圆的中心在原点O，短轴长为23，左焦点为F(–c,0)(c>0)，相应的准线l与x轴交于点A，且点F分AO的比为3，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点. (1) 求椭圆的方程；
(2) 若PF?QF，求直线PQ的方程；
19. (本小题满分14分) 数列{an}的前n项和S n 满足:t(Sn + 1 +1) = (2t + 1)S n n?N*. ⑴ 求证?an?是等比数列；
(2) 若?an?的公比为f (t), 数列{b n}满足：b1 = 1, bn +1= f(
1的等差数列. 现从这批正整数中任取一个，记5PO的值. BC1), 求{b n}的通项公式； bn(3) 定义数列{c n}为：cn =
20. (本小题满分14分)
1bn?1bn, 求{c n}的前n项和Tn, 并求limTn.
n??已知函数f ( x ) = ax3 +bx2 – a2x（a＞0）, 存在实数x1,x2满足下列条件：①x1< x2;②f `(x1) = f `(x2) = 0; ③
|x1|?|x2|?2.
（1）证明：0< a ? 3； （2）求b的取值范围；
（3）若函数h(x) = f `(x) – 6a(x – x1)，证明：当x1?x?2时，|h (x ) | ? 12a．
2006年杭州市第二次高考科目教学质量检测
数学参考评分标准(理科)
一. 选择题 : （本大题共10小题, 每小题5分, 共50分）
题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 A 5 A 6 A 7 C 8 A 9 B 10 D
二．填空题: （本大题有4小题, 每小题4分, 共16分） 11. y = x2 + 1 . 12. 0 13. f (x1) > f (x2 ) . 14. ①②④
三. 解答题: 本大题有6小题, 每小题14分，共84分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分) 解：f(x)?1?sin2x1 4分 ?21?sin2x(sin2x?1)??(k?Z)，x?k??(k?Z). 24(1)因为1+sin2x?0所以sin2x?–1,2x?2k??又0<1+sin2x?2 所以f(x)?所以定义域为{x| x?k??1. 2?1,k?Z}，值域为.{y|y?} 4分 4211?2,sin2x?? (2) 因为f (x)=2 所以
1?sin2x2?3??3??7?因为??x? 所以??2x? 所以2x??或2x?
442266?7?所以x??或x? 6分
1212
16. (本小题满分14分)
解 根据题意，设P(ξ= n) = an (n==1,2,…,9), 公差为d,
111? 9 + ? 9?8d = 1, 得d =?, 524511所以：设P(ξ= n) = –( n – 1) (n==1,2,…,9), 5分
545得
概率分布如下： 2 ξ 1 P 3 4 5 6 7 8 9 987654321 4545454545454545452?(1?9?2?8?3?7?4?6)?2511=. 5分
453 4分 （2）E? =
17．(本小题满分14分)
因为AB中点O为点P在平面ABCD内的射影, 所以
PO?底面
AB. 以O为坐标原点, AB所在直线为x轴, OP所在直线为z轴, 建
立空间直角坐标系o?xyz(如图). （1）设BC?a, OP = h则依题意得: