B(a,0,0),A(?a,0,0),P(0,0,h), C(a,a,0),D(?a,2a,0).
∴AC= (2a,a,0), PD= (?a,2a,?h), 于是AC·PD=
?????????????2a?2a?0, ∴
22--- 4分
PD?AC;
（2）由PO?BC, 得h = a, 于是P(0,0,a),
--- 5分
∵AB= (2a,0,0), PD= (?a,2a,?a), ∴AB·PD= ?2a,
????????????2cos =
???????2a22a?6a=
?6 , ∴ 直线PD与AB所成的角的余弦值为666;
(3) 设平面PAB的法向量为m, 可得m = (0,1,0 ),
设平面PCD的法向量为n = (x,y,z), 由PC= (a,a,?h), PD= (?a,2a,?h),
???????ax?ay?hz?03a ∴? , 解得n = (1, 2 ,), ∴ m?n = 2 ,
?ax?2ay?hz?0h?cos< m, n > =
29a25?2h9a2, ∵ 二面角为60, ∴5?2= 4，
h?解得
h311PO311= ，即=. --- 5分 11aBC11
（传统方法解答相应给分）
18 .(本小题满分14分)
a2x2y2222
解：（1）设2?2=1, 则 c + (3) = a, 准线l: x = ,
caba2由点F分AO的比为3, 得 – c = 3c,
cx2y2??1. 5分 解得a = 4, c = 1, 得椭圆方程为:432
（2）设PQ： y=k(x+4)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，F(–1,0).
∵PF?QF ,
∴(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,
即 (x1+1)(x2+1)+k2 (x1+4)(x2+4)=0,
(1+k2)x1x2+(1+4k2)(x1+x2)+(1+16k2)=0 4分
联立??y?k(x?4)?3x?4y?1222，
消去y得(3+4k2)x2+32k2x+64k2–12=0
64k2?1232k2∴x1x2=，x1+x2=? 4分 223?4k3?4k
代入化简得8k2=1, ∴k=?
2. 422(x+4)或y=?(x+4). 2分 44∴直线PQ的方程为y=
19. (本小题满分14分)
（1）由:t(Sn + 1 +1) = (2t + 1)S n， 得t(Sn +1) = (2t + 1)S n – 1 ，
相减得：
an?11= 2 + ，∴?an?是等比数列. 5分 ant(2) b1n +1= f(
b) = 2 + bn , n∴bn +1 –bn = 2 , b1 = 1,
得 bn = 2n – 1 . (3) c1n =
b=
111n?1bn(2n?1)(2n?1)=2(2n?1?12n?1)
∴Tn=111112[(1?3)?(3?5)???(2n?1?12n?1)=112(1?2n?1).
∴limn??T1n= 2.
20. (本小题满分14分)
解:散f ` ( x ) = 3ax2 + 2bx – a2 = 3a (x – x1)(x – x2 )
∴x2b1 + x2 = –
3a, x1x2 = – a3, 由a > 0 , 得x 1 < 0 < x 2 , ∵| x1 | + | x2| = 2, ∴x2 – x1 = 2
(1)∴–x1和x2 是方程t2 – 2t + a3 = 0的两个实根,
∵方程有解, ∴⊿= 4 – 4a3 ? 0,
得 0 < a ? 3. (2) 由 (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4,
得：4b4a9a2+ 3 = 4,
∴b = 3a2(3 – a ) = – 3a3 + 9a2， ∴b` = – 9a2 + 18a，
由b` = 0， 得a = 0或a = 2, ∵ 0 < a ? 3.
∴ 0 < a ? 2时，b` ? 0， b在(0, 2]上单调递增； 2 ? a ? 3时，b` ? 0， b在[2，3]上单调递减。 ∴ a = 2时，b取最大值= 12` ， a = 3时，b = 0 , a = 0时，b = 0.
∴0 ? b ? 12.. （用下列方法也给4分
4分 5分 5分 4分
a?a?3?a∴b = 3a2(3 – a ) ? 12(223)3 =12，∴0 ? b ? 12.. ）
(3) h(x ) = 3a (x – x1)(x – x2 ) – 6a (x – x1) = 3a(x – x1) [(x – x2 )– 2)] 其图象是开口向上的抛物线 ∵x1?x?2, 且x1< x2; x2 – x1 = 2， 对称轴为x =
x1?x2?2x2?22=?x2?22= x2 . 由x1?x?2，
若x2 ? 2, 则0 = h ( x1 ) > h (x ) ? h (x2) =3a(x2 – x1) ( –2) = – 12a ,
∴| h ( x ) | ? 12a．
若2 < x2, 则 0 = h ( x1 ) > h (x ) > h ( 2) > h (x2) = – 12a , ∴| h ( x ) | < 12a．
由0 < a ? 3,.综上得 | h ( x ) | ? 12a． 5分