2015年中考数学第24题专题训练-圆
1. 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．
（1）求证：△BGD∽△DMA； （2）求证：直线MN是⊙O的切线．
证明：（1）∵MN⊥AC于点M，BG⊥MN于G， ∴∠BGD=∠DMA=90°．
∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，∴AD⊥BC，∠ADC=90°， ∴∠ADM+∠CDM=90°，
∵∠DBG+∠BDG=90°，∠CDM=∠BDG， ∴∠DBG=∠ADM． 在△BGD与△DMA中，
（2）连结OD．∵BO=OA，BD=DC，
∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC．∵MN⊥AC，BG⊥MN， ∴AC∥BG，∴OD∥BG，∵BG⊥MN，∴OD⊥MN， ∴直线MN是⊙O的切线．
2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆． （1）求证：AC是⊙O的切线． （2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．
，∴△BGD∽△DMA；
证明：（1）连接OE． ∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，
1
∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠CBE， ∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°， ∴AC是⊙O的切线； （2）如图，连结DE． ∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H， ∴EC=EH． ∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE． 在△CDE与△HFE中， ， ∴△CDE≌△HFE（AAS）， ∴CD=HF． 3. （2014?山东枣庄）如图，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于C，CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连接OD．若AB=12，AC=8． （1）求OD的长； （2）求CD的长．
解：（1）设⊙O的半径为R， ∵AB切⊙O于点B，∴OB⊥AB， 在Rt△ABO中，OB=R，AO=OC+AC=R+8，AB=12， ∵OB2+AB2=OA2，∴R2+122=（R+8）2，解得R=5， ∴OD的长为5； （2）∵CD⊥OB，∴DE=CE，而OB⊥AB， ∴CE∥AB， ∴△OEC∽△OBA，∴∴CE=
2
=，即． =， ，∴CD=2CE=
4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=900，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE． (1)求证：OD∥BE；
(2)若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14， 求CD的长．
解：(1)证明：连接OE,
∵CD是⊙O的切线， ∴OE⊥CD，
在Rt△OAD和Rt△OED中，OA=OE, OD=OD， ∴Rt△OADcR≌t△OED， ∴∠AOD=∠EOD=在⊙O中，ABE=
1∠AOE， 21∠AOE, ∴∠AOD=∠ABE， ∴OD∥BE 21(2)同理可证：Rt△COE≌Rt△COB．∴∠COE=∠COB=∠BOE,
2∴∠DOE+∠COE=900，∴△COD是直角三角形， ∵S△DEO=S△DAO, S△COE=S△COB,
∴S梯形ABCD =2(S△DOE+S△COE)=2S△COD=OC·OD=48，即xy=48， 又∵x+y= 14，∴x2 +y2=(x+y)2－2xy=142－2×48=100, 在Rt△COD中,CD?即CD的长为10．
OC2?OD2?x2?y2?100?10
5.如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别交于A、B
两点，连接AP并延长分别交⊙P、x轴于点D、E，连接DC并延长交y轴于点F，若点F的坐标为(0 ,1),点D的坐标为(6 ,－1).
⑴ 求证：DC?FC ⑵ 判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由. ⑶ 求直线AD的解析式.
解：(1)如图1，
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作DH⊥
x轴于点H,
∵F(0,1),D(6,-1) ∴OF=DH=1,
在⊿OCF和⊿HCD中，
? ??FCO??DCO??FOC??DHC?90?
??OF?DH ∴⊿OCF≌⊿HCD(AAS), DC=FC. (2)如图2，
⊙P与
x轴相切.
连接PC,∵DC=FC, PD=PA, ∴CP是⊿DFA的中位线，∴PC∥y轴， ∴PC⊥
x轴 , 又C是⊙P与x轴的交点 ， ∴⊙P切
x轴于点C.
(3)如图3，
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作PG⊥
y轴于点G,
由(1)知：C(3,0), 由(2)知：AF=2PC,
设⊙P的半径为r , 则：（r-1)2+32=r2
, ∴r=5, ∴A(0,-9)； 设直线AD的解析式为y?ax?94，把D(6,-1)代入得：a?3 ， ∴直线AD的解析式为：y?43x?9 6. 已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．（1）求证：△ACB∽△CDB； （2）若⊙O的半径为1，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．
解：（1）证明：∵直线CP是⊙O的切线， ∴∠BCD=∠BAC， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， 又∵BD⊥CP ∴∠CDB=90°， ∴∠ACB=∠CDB=90° ∴△ACB∽△CDB；
（2）解：如图，连接OC，
∵直线CP是⊙O的切线，∠BCP=30°， ∴∠COB=2∠BCP=60°， ∴△OCB是正三角形， ∵⊙O的半径为1， ∴S△OCB=
，S扇形OCB=
=π，
∴阴影部分的面积=S扇形OCB﹣S△OCB=π﹣
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