解：（1）∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO，∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A， ∵∠D=2∠CAD，∴∠D=∠COD， ∵PD切⊙O于C，∴∠OCD=90°，∴∠D=∠COD=45°； （2）∵∠D=∠COD，CD=2， ∴OC=OB=CD=2， 222在Rt△OCD中，由勾股定理得：2+2=（2+BD）， 解得：BD=2﹣2． 12，如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=BFD． （1）求证：FD是⊙O的一条切线； （2）若AB=10，AC=8，求DF的长．
解： （1）证明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD， ∴∠CAB=∠BFD， ∴FD∥AC，∵∠AEO=90°，∴∠FDO=90°， ∴FD是⊙O的一条切线； （2）解：∵AB=10，AC=8，DO⊥AC， ∴AE=EC=4，AO=5，∴EO=3， ∵AE∥FD，∴△AEO∽△FDO， ∴=
，∴=
， ．
解得：FD=
13，如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E． （1）证明：DE为⊙O的切线； （2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积．
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解： （1）证明：连接OD，CD， ∵BC为⊙O直径，∴∠BCD=90°，即CD⊥AB， ∵△ABC是等腰三角形，∴AD=BD， ∵OB=OC，∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE， ∵D点在⊙O上，∴DE为⊙O的切线； （2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4， ∴CD=BC=2，BD=BC?cos30°=2， ∴AD=BD=2，AB=2BD=4， ∴S△ABC=AB?CD=×4×2=4， ∵DE⊥AC， ∴DE=AD=×2=，AE=AD?cos30°=3， ∴S△ODE=OD?DE=×2×=，S△ADE=AE?DE=×=， ﹣﹣﹣=． ×3=， ∵S△BOD=S△BCD=×S△ABC=×4∴S△OEC=S△ABC﹣S△BOD﹣S△ODE﹣S△ADE=4 14，已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC． （1）求证：∠PCA=∠PBC；
（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．
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解： （1）证明：连结OC，OA， ∵OC=OA， ∴∠ACO=∠CAO， ∵PC是⊙O的切线，C为切点， ∴PC⊥OC， ∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°， 在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°， ∵∠AOC=2∠PBC， ∴2∠ACO+2∠PBC=180°， ∴∠ACO+∠PBC=90°， ∵∠PCA+∠ACO=90°， ∴∠PCA=∠PBC； （2）解：∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC， ∴△PAC∽△PCB， ∴=2， ∴PC=PA?PB， ∵PA=3，PB=5， ∴PC==． 15，如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC=CE?CA． （1）求证：BC=CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=求DF的长．
，
2
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2解： （1）证明：∵DC=CE?CA，∴=， △CDE∽△CAD，∴∠CDB=∠DBC， ∵四边形ABCD内接于⊙O，∴BC=CD； （2）解：如图，连接OC， ∵BC=CD，∴∠DAC=∠CAB， 又∵AO=CO，∴∠CAB=∠ACO，∴∠DAC=∠ACO， ∴AD∥OC，∴=∴PC=4，∵PB=OB，CD=，∴= 又∵PC?PD=PB?PA∴PA=4也就是半径OB=4， 在RT△ACB中， AC===2， ∵AB是直径，∴∠ADB=∠ACB=90°∴∠FDA+∠BDC=90° ∠CBA+∠CAB=90°∵∠BDC=∠CAB∴∠FDA=∠CBA 又∵∠AFD=∠ACB=90°∴△AFD∽△ACB ∴ ， ， 在Rt△AFP中，设FD=x，则AF=∴在RT△APF中有，求得DF=． 16，如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O的切线． （2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．
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解： （1）证明：连接OD，OE， ∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°， 在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点， ∴DE=BE，在△OBE和△ODE中， ， ∴△OBE≌△ODE（SSS）， ∴∠ODE=∠ABC=90°， 则DE为圆O的切线； （2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°， ∴BC=AC，∵BC=2DE=4，∴AC=8， 又∵∠C=60°，DE=DC，∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，则AD=AC﹣DC=6． 17，如图，AB是⊙O的直径，点E是
上的一点，∠DBC=∠BED．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知AD=3，CD=2，求BC的长．
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