7，如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，且∠ABC=60°，AB=BC，△ACD的外接圆⊙O交BC于E点，连接DE并延长，交AC于P点，交AB延长线于F． （1）求证：CF=DB；
（2）当AD=时，试求E点到CF的距离．
解： （1）证明：连结AE，如图， ∵∠ABC=60°，AB=BC， ∴△ABC为等边三角形， ∵AB∥CD，∠DAB=90°， ∴∠ADC=∠DAB=90°， ∴AC为⊙O的直径， ∴∠AEC=90°，即AE⊥BC， ∴BE=CE， CD∥BF， ∴∠DCE=∠FBF， 在△DCE和△FBE中， ， ∴△DCE≌△FBE（ASA）， ∴DE=FE， ∴四边形BDCF为平行四边形， ∴CF=DB； （2）解：作EH⊥CF于H，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∴∠DAC=30°， 在Rt△ADC中，AD=， ∴DC=AD=1，AC=2CD=2， ∴AB=AC=2，BF=CD=1， ∴AF=3， 在Rt△ABD中，BD==， 在Rt△ADF中，DF==2， ∴CF=BD=，EF=DF=，
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∵AE⊥BC， ∴∠CAE=∠BAE=30°， ∴∠EDC=∠CAE=30°， 而∠DCA=∠BAC=60°， ∴∠DPC=90°， 在Rt△DPC中，DC=1，∠CDP=30°， ∴PC=DC=， ∵∠HFE=∠PFC， ∴Rt△FHE∽Rt△FPC， ∴=，即=， ∴EH=， ． 即E点到CF的距离为 8，如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E． （1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长； （3）如图2，连接OD交AC于点G，若
=，求sin∠E的值．
解： （1）证明：连结OC，如图1， ∵DE与⊙O切于点C， ∴OC⊥DE， ∵AD⊥DE， ∴OC∥AD， ∴∠2=∠3， ∵OA=OC，
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∴∠1=∠3， ∴∠1=∠2， 即AC平分∠DAB； （2）解：如图1， ∵直径AB=4，B为OE的中点， ∴OB=BE=2，OC=2， 在Rt△OCE中，OE=2OC， ∴∠OEC=30°， ∴∠COE=60°， ∵CF⊥AB， ∴∠OFC=90°， ∴∠OCF=30°， ∴OF=OC=1， CF=OF=； （3）解：连结OC，如图2， ∵OC∥AD， ∴△OCG∽△DAG， ∴==， ∵OC∥AD， ∴△ECO∽△EDA， ∴==， 设⊙O的半径为R，OE=x， ∴=， 解得OE=3R， 在Rt△OCE中，sin∠E===． 8
9，如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；
（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．
解答： （1）证明：∵AB，CD是直径， ∴∠ADB=∠CBD=90°， 在△ABD和△CDB中， ， ∴△ABD和△CDB（HL）； （2）解：∵BE是切线， ∴AB⊥BE， ∴∠ABE=90°， ∵∠DBE=37°， ∴∠ABD=53°， ∵OA=OD， ∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°， ∴∠ADC的度数为37°． 10，如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD于点D． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若点E为
的中点，AD=
，AC=8，求AB和CE的长．
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解： （1）证明：连接OC， ∵直线CD与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CD，∵AD⊥CD， ∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA， ∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC， ∴∠OAC=∠DAC， 即AC平分∠DAB；
（2）连接BC，OE，过点A作AF⊥BC于点F， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠ADC， ∵∠DAC=∠BAC，∴△ADC∽△ACB， ∴，即
，解得：AB=10，∴BC=
=6，
∵点E为
的中点，∴∠AOE=90°，
∴OE=OA=AB=5，∴AE=
=5
，
∵∠AEF=∠B，∠AFE=∠ACB=90°， ∴△ACB∽△AFE，∴
，∴
，
∴AF=4，EF=3，∵∠ACF=∠AOE=45°，∴△ACF是等腰直角三角形， ∴CF=AF=4，∴CE=CF+EF=7．
11，如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD．（1）求∠D的度数；
（2）若CD=2，求BD的长．
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