课时跟踪检测(五十二)
[高考基础题型得分练]
y22
1．已知椭圆C的方程为＋2＝1(m>0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x16m2
轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为( )
A．2 C．8 答案：B
B．22 D．23
x2
xy2?2?解析：根据已知条件得c＝16－m，则点?16－m2，16－m?在椭圆＋2＝1(m>0)
16m2??
2
22
16－m16－m上， ∴＋2＝1，可得m＝22.
162m2．抛物线y＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是( )
A．4
B．33
2
22
C．43 D．8 答案：C
解析：∵y＝4x，∴F(1,0)，l：x＝－1， 过焦点F且斜率为3的直线l1：y＝3(x－1)， 与y＝4x联立，解得A(3,23)， 1
∴AK＝4，∴S△AKF＝34323＝43.
2
3．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y＝2x上的两点，直线 l 是AB的垂直平分线．当1
直线 l 的斜率为时，直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围是( )
2
2
2
2
?3??3?A.?，＋∞? B．?，＋∞? ?4??4?
C．(2，＋∞) 答案：A
1
解析：设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程为y＝x＋b，
2过点A，B的直线可设为y＝－2x＋m，
??y＝2x，
联立方程?
?y＝－2x＋m?
2
D．(－∞，－1)
得2x＋2x－m＝0，
2
1
1
从而有x1＋x2＝－1，Δ＝4＋8m＞0，m＞－.①
2
?1?又AB的中点?－，m＋1?在直线l上， ?2?
15
即m＋1＝－＋b，得m＝b－，
4453
将m＝b－代入①得b＞，
44
?3?所以直线 l 在y轴上的截距的取值范围是?，＋∞?.
?4?
4．经过椭圆＋y＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O2→→
为坐标原点，则OA2OB等于( )
1
A．－3 B．－ 31
C．－或－3
3答案：B
解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时， 其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1， 代入椭圆方程＋y＝1并整理得3x－4x＝0，
24
解得x＝0或x＝，
3
1D．± 3
x2
2
x2
22
?41?所以两个交点坐标分别为(0，－1)，?，?， ?33?
→→1所以OA2OB＝－.
3
→→1
同理，直线 l经过椭圆的左焦点时，也可得OA2OB＝－.
3
5．[20172河北唐山统考]平行四边形ABCD内接于椭圆＋＝1，直线AB的斜率k1＝1，
42则直线AD的斜率k2＝( )
11A. B．－ 221
C．－ D．－2
4答案：B
2
x2y2
解析：设AB的中点为G，由椭圆的对称性知，
O为平行四边形ABCD的对角线的交点，
则GO∥AD.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有＋＝1，＋＝1，
4242两式相减得
?x1－x2??x1＋x2??y1－y2??y1＋y2?
＝－，
42整理得即
x2y211x2y222
x1＋x2y1－y2
＝－＝－k1＝－1，
2?y1＋y2?x1－x2
y1＋y21＝－， x1＋x22
又G?
?x1＋x2，y1＋y2?，
?2??2
y1＋y2
－021
所以kOG＝＝－，
x1＋x22
－021
即k2＝－，故选B.
2
6．[20172贵州安顺月考]在抛物线y＝x上关于直线y＝x＋3对称的两点M，N的坐标分别为________．
答案：(－2,4)，(1,1)
解析：设直线MN的方程为y＝－x＋b， 代入y＝x中， 整理得x＋x－b＝0， 1
令Δ＝1＋4b>0，∴b>－. 4设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝－1，
22
2
y1＋y2
2
＝－
x1＋x2
21
＋b＝＋b，
2
?11?由?－，＋b?在直线y＝x＋3上， ?22?
11
即＋b＝－＋3，解得b＝2， 22
3
??y＝－x＋2，联立?2
?y＝x，???x1＝－2，解得?
?y1＝4，?
??x2＝1，?
?y2＝1.?
2
7．已知抛物线C：y＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B→→
两点．若MA2MB＝0，则k＝________.
答案：2
解析：如图所示，设F为焦点，取AB的中点P，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为G，H，连接MF，MP，
→→11
由MA2MB＝0，知MA⊥MB，则|MP|＝|AB|＝(|AG|＋|BH|)，
22所以MP为直角梯形BHGA的中位线， 所以MP∥AG∥BH，
所以∠GAM＝∠AMP＝∠MAP， 又|AG|＝|AF|，AM为公共边， 所以△AMG≌△AMF， 所以∠AFM＝∠AGM＝90°， 则MF⊥AB，所以k＝－1
kMF＝2.
8．[20172辽宁大连名校联考]已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与
54椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．
55答案：
3
解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．
4
x2y2
y＝2?x－1?，??22
由方程组?xy＋＝1??54
2
消去y，整理得3x－5x＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
5
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝0.
3则|AB|＝?x1－x2?＋?y1－y2? ＝?1＋k?[?x1＋x2?－4x1x2] ＝
2
2
2
2
??5?2?55. 2
?1＋2????－430?＝
??3??3
y2x2
9．已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)，P为x轴上一动点，经过点P的直线y＝2x＋
abm(m≠0)与双曲线C有且只有一个交点，则双曲线C的离心率为________．
答案：
5 2
解析：由双曲线的方程可知， 渐近线方程为y＝±x.
∵经过点P的直线y＝2x＋m(m≠0)与双曲线C有且只有一个交点， ∴此直线与渐近线y＝x平行， ∴＝2. ∴e＝＝abababca1＋??＝
a?b?2??
5. 2
[冲刺名校能力提升练]
1．过抛物线y＝2px(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于B，C两点，l与抛物线准线交→→
于点A，且|AF|＝6，AF＝2FB，则|BC|＝( )
9
A. B．6 2C.13 2
D．8
2
答案：A
π
解析：不妨设直线l的倾斜角为θ，其中0<θ<，点B(x1，y1)，C(x2，y2)，
2
5