则点B在x轴的上方，过点B作该抛物线的准线的垂线，垂足为B1， 于是有|BF|＝|BB1|＝3， |AF|p＝， |AB||BB1|由此得p＝2，
抛物线方程是y＝4x，焦点F(1,0)，
2
pp21
cos θ＝＝＝＝，
|AF|663
sin θ＝1－cosθ＝2
22
， 3
sin θ
tan θ＝＝22，
cos θ则直线l：y＝22(x－1)．
?y＝22?x－1?，由?2
?y＝4x
52
消去y，得2x－5x＋2＝0，x1＋x2＝，
259
|BC|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，故选A.
22
12
2．[20172陕西西安中学模拟]如图，过抛物线y＝x的焦点F的直线l与抛物线和圆
4→→
x＋(y－1)＝1交于A，B，C，D四点，则AB2DC＝________.
2
2
答案：－1
解析：不妨设直线AB的方程为y＝1，
y＝1，??
联立?12
y＝x??4
解得x＝±2，
则A(－2,1)，D(2,1)，因为B(－1,1)，C(1,1)，
6
→→
所以AB＝(1,0)，DC＝(－1,0)， →→
所以AB2DC＝－1.
x2y2
3．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，
ab且点P(0,1)在C1上．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线l同时与椭圆C2
1和抛物线C2：y＝4x相切，求直线l的方程． 解：(1)根据椭圆的左焦点为F2
2
1(－1,0)，知a－b＝1. 又根据点P(0,1)在椭圆上，知b＝1， 所以a＝2，
所以椭圆Cx2
2
1的方程为2
＋y＝1.
(2)因为直线l与椭圆C1和抛物线C2都相切， 所以其斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)， 代入椭圆方程得x2
2
2
＋(kx＋m)＝1，
即??1?2＋k2??22
?
x＋2kmx＋m－1＝0， 由题意可知此方程有唯一解，
此时Δ＝4k2m2
－4??12?2＋k??2?
(m－1)＝0，
即m2
＝2k2
＋1.①
把y＝kx＋m(k≠0)代入抛物线方程得
k24
y－y＋m＝0，
由题意可知此方程有唯一解， 此时Δ＝1－mk＝0， 即mk＝1.②
2
2
联立①②得???
m＝2k＋1，
??
mk＝1，
解得k2
＝12
，
7
2?
?k＝，2所以???m＝2
2?
?k＝－，
2或?
??m＝－2，
所以直线l的方程为y＝
22
x＋2或y＝－x－2. 22
4．[20172贵州联考]已知中心在原点O，左焦点为F1(－1,0)的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为
(1)求椭圆C的方程；
7
|OB|. 7
x2y2x2y2
(2)若椭圆C1的方程为：2＋2＝1(m>n>0)，椭圆C2的方程为：2＋2＝λ(λ>0，且
mnmnλ≠1)，则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．如图，已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M，N，试求弦长|MN|的取值范围．
x2y2
解：(1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab∴直线AB的方程为＋＝1，
－ab∴F1(－1,0)到直线AB的距离
xyd＝|b－ab|7
＝b， a2＋b27
a2＋b2＝7(a－1)2，
又b＝a－1，解得a＝2，b＝3， 故椭圆C的方程为＋＝1.
43
(2)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为＋＝1.
129
①若切线l垂直于x轴，则其方程为x＝±2，易求得|MN|＝26. ②若切线l不垂直于x轴，可设其方程为y＝kx＋b， 将y＝kx＋b代入椭圆C的方程，
8
2
2
x2y2
x2y2
得(3＋4k)x＋8kbx＋4b－12＝0， ∴Δ＝(8kb)－4(3＋4k)(4b－12) ＝48(4k＋3－b)＝0， 即b＝4k＋3，(*)
设M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 将y＝kx＋b代入椭圆C2的方程， 得(3＋4k)x＋8kbx＋4b－36＝0， 8kb4b－36
此时x1＋x2＝－2，x1x2＝2. 3＋4k3＋4k43?12k＋9－b?
|x1－x2|＝， 2
3＋4k43?12k＋9－b?
∴|MN|＝1＋k3 2
3＋4k22
2
2
2
2
2
2
2
2
22
22
2
2
222
＝462
1＋k2＝263＋4k211＋2， 3＋4k142
∵3＋4k≥3，∴1<1＋2≤，
3＋4k3即26<262
11＋2≤42. 3＋4k综合①②得，弦长|MN|的取值范围为[26，42 ]． 5．设抛物线过定点A(－1,0)，且以直线x＝1为准线． (1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；
1
(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－平分，设弦MN2的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，试求m的取值范围．
解：(1)设抛物线顶点为P(x，y)，则焦点F(2x－1，y)． 再根据抛物线的定义得|AF|＝2，即(2x)＋y＝4， 所以轨迹C的方程为x＋＝1.
4
2
2
2
y2
?1?(2)设弦MN的中点为P?－，y0?，M(xM，yM)，N(xN，yN)， ?2?
则由点M，N为椭圆C上的点，可知
??4xM＋yM＝4，
?2
2
?4xN＋yN＝4.?
2
2
两式相减，得4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0，
9
将xM＋xN＝23???－12???
＝－1，yM＋yN＝2y0， yM－yNxx＝－1代入上式得k＝－y0
. M－Nk2
又点P???－12，y0???
在弦MN的垂直平分线上，
所以y1
0＝－2k＋m.
所以m＝y13
0＋2k＝4
y0.
由点P???－12，y0???在线段BB′上???B′，B为直线x＝－1?2与椭圆的交点，如图所示??
，
所以yB′ 4 ，且m≠0. 故m的取值范围是??33??－4，0??33? ?∪?? 0，4??. 10