数学（理工农医类）
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项 是符合题目要求的.)
1.设i为虚数单位，则复数
3?2i
的虚部是（ ） i
A．3i B．?3i C．3 D．-3
2.记集合A??x|x?a?0?,B??y|y?sinx,x?R?，若0?A?B，则a的取值范围是（ ）
A．???,0? B．???,0? C．?0,??? D．?0,???
3.某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．棱柱 4.二项式?x?2?展开式中x的系数为（ ） A．5 B．16 C．80 D．-80
5.已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（ ） A．an???1?n?15?2,n为奇数n??1 B．an?? C．an?2sin
2?0,n为偶数D．an?cos?n?1???1
6.考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有（ ）
A．10种 B．60种 C．125种 D．243种
7.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：
学习成绩优秀 学习成绩不优秀 合计 使用智能手机 不使用智能手机 合计 4 16 20 8 2 10 12 18 30
附表：
P?K2?k0? 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 22.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 经计算K?10，则下列选项正确的是：（ ） A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 8.函数y?sin???1??x?,x???2?,2??的单调递增区间是（ ） 32??A．?????5???????5????5??,? B．??2?,?? C．?,2?? D．??2?,??和?,2??
3??33????33???3?9.非负实数x、y满足ln?x?y?1??0，则关于x?y的最大值和最小值分别为（ ） A．2和1 B．2和-1 C．1和-1 D．2和-2
10.如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（ ）
A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9
11.已知函数f?x??e,g?x??x?1，则关于f?x?,g?x?的语句为假命题的是（ ）
x
A．?x?R,f?x??g?x? B．?x1,x2?R,f?x1??g?x2? C．?x0?R,f?x0??g?x0?
D．?x0?R，使得?x?R,f?x0??g?x0??f?x??g?x?
x2y212.已知双曲线C1:2?2?1?a?0,b?0?经过抛物线C2:y2?2px?p?0?的焦点，且
ab双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C1的离心率是（ ） A．2 B．3 C．323 D． 23二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.
?edx?__________．
01x14. ?ABC的周长等于2?sinA?sinB?sinC?，则其外接圆半径等于_________．
x2y2??1左、右支上的点，设v是平行于x轴的单位向量，则15. M、N分别为双曲线
43?????MN?v的最小值为___________．
16.已知f?x?是定义在R上的偶函数，令F?x???x?b?f?x?b??2014，若b是a、c的等差中项，则F?a??F?c??___________．
三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分） 已知数列?an?满足a1?aa2???n?2n?1． 2n（1）求?an?的通项公式； （2）求?an?的前n项和． 18.（本小题满分12分）
空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0?50为优；101?150为轻度污染；151?200为中度污染；
201?300为重度污染；?300为严重污染．
一环保人士记录去年某地某月10天 的AQI的茎叶图如右．
（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI?100）的天数；（按这个月总共30天计算）
（2）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为?，求?的概率分布列和数学期望． 19.（本小题满分12分）
如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD,GC垂直于平面ABCD．且
AB?DE,CG?1DE． 2
（1）证明：面GEF?面AEF； （2）求二面角B?EG?C的余弦值． 20.（本小题满分12分）
x2y23,P??2,1?是C1上一点． 已知椭圆C1:2?2?1?a?b?0?的离心率为ab2（1）求椭圆C1的方程；
B、Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，（2）设A、平行于AB的直线l交C1于
异于P、Q的两点C、D．点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．
21.（本小题满分12分） 已知函数f?x??alnx?12x?ax（a为常数）有两个极值点． 2（1）求实数a的取值范围；
（2）设f?x?的两个极值点分别为x1,x2．若不等式f?x1??f?x2????x1?x2?恒成立，求?的最小值．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
?． 如图，C、D是以AB为直径的半圆上两点，且?AD?CD
（1）若CD//AB，证明：直线AC平分?DAB；
2（2）作DE?AB交AC于E．证明：CD?AE?AC．
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为??4?cos??3?0,???0,2??．
2（1）求C1的直角坐标方程；
??x?tcos??6（2）曲线 C2的参数方程为?（t为参数），求C1与C2的公共点的极坐标．
??y?tsin?6?24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设?,?,?均为实数．
（1）证明：cos??????cos??sin?;sin??????cos??cos?． （2）若??????0，证明：cos??cos??cos??1．