举题说法——解法概述
直接法
直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识,通过变形、推理、运算等过程,直接得到结果的方法叫作直接法,它是解决客观题的基本方法.熟悉有关定义、定理、性质、公式是运用直接法的基础.
例1 (1) 已知集合A={x|lnx>0},B={x|2x≤4},则A∩B= .
(2) 已知向量a=(1,2),b=(0,1),设m=a+tb,n=2a-b,若m⊥n,则实数t的值为 .
练习 某医院计划购买某种药品106kg,医药公司提供两种牌子,其中
一种是每箱35kg,价格为140元;另一种是每箱24kg,价格为120元.在满足需要的条件下,最少要花费 元.
数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思形,以形助数,则往往可以简捷地解决问题,得出正确的结果.
例1 方程lgx=sinx的实根的个数为 .
x?练习 在平面直角坐标系xOy中,若直线y=kx+1与曲线y=
有四个公共点,则实数k的取值范围是 .
特例法
11x-x-x当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以把题中变化的不定量用特殊值(或特殊函数,特殊角,特殊数列,特殊图形,特殊位置,特殊点,特殊方程,特殊模型等)代替,即可以得到正确结果.特殊值法在解决选择和填空题中有着独特的优势.
例1 已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则
a1?a3?a9a2?a4?a10的值是 .
(练习)
练习 如图,在三棱锥O-ABC中,三条棱OA,OB,OC两两垂直,且OA>OB>OC,
分别经过三条棱OA,OB,OC作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为S1,S2,S3,则S1,S2,S3的大小关系为 .
等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”,将问题等价地转化成便于解决的问题,从而得出正确的结果.
例1 不论k为何实数,直线y=kx+1与曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点,
则实数a的取值范围是 .
(x?1)2?sinxx2?1练习 已知函数f(x)=的最大值和最小值分别为M,m,那么
M+m= .
整体代入法
将需要解决的问题看作一个整体,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体功能或作整体处理后,达到准确而又简捷地解决问题的目的方法叫作整体代入法.
例1 已知三棱锥的三个侧面两两互相垂直,它们的侧面积分别是
6,4,3,则它的体积等于 .
(练习)
练习 如图,在△ABC中,D是AB的中点,过D作直线l与BC及AC的延长线
分别交于点E,F,且AC=CF,设AB=b,AC=c,则BE= .(用b,c表示)
分析法
根据题设条件的特征,如数值特征、结构特征、位置特征等,进行观察、分析,从而得出正确的结论.
(例1)
例1 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形满足条件
时,有A1C⊥B1D1(填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能性的情形).
归纳猜想法
认真分析,仔细观察,归纳,发现共同特征,大胆猜想,据此预测它的变化规律.
例1
(n+1)
2an?1设{an}是首项为1的正项数列,且
-n
2an+an+1an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式an= .
练习 (2014·泰州期末)已知在等差数列{an}中,若
m+2n+p=s+2t+r,m,n,p,s,t,r∈N*,则am+2an+ap=as+2at+ar.类比可得等比数列{bn}中的一个正确命题:若m+2n+p=s+2t+r,m,n,p,s,t,r∈N*,则 .
极限法
有时做题,我们可以令参数取到极限位置,甚至不可能取到的位置,此时的结果一般是我们最后结果的取值范围或最值.
例1 (2014·江苏淮阴中学改编)已知O,A,B是平面上不共线三点,线段
AB的中点为C,设P为线段AB垂直平分线上任意一点(异于点C),若|OA|=7,|OB|=5,则OP·(OB-OA)= .
举题说法——解法概述
考点1 直接法
【例1】 【分析】(1) 解不等式再求交集;(2) 运用向量垂直的条件计算.
8【答案】(1) (1,2] (2) -3
【解析】(1) 由题可得A={x|x>1},B={x|x≤2},所以A∩B={x|1 8所以t=-3. 【练习】 【答案】500 【解析】(直接法)设第一种买x箱,第二种买y箱,总的花费为z元.由题意知35x+24y≥106(x,y均为整数).z=140x+120y,其中x=0,1,2,3,4. 相应y值和花费如 下:x=0,y=5,z=600;x=1,y=3,z=500;x=2,y=2,z=520;x=3,y=1,z=540;x=4,y=0,z=560. 易知最少花费为500元. 考点2 数形结合法 【例1】 【答案】3 【解析】如图,在同一坐标系中作出y1=lgx和y2=sinx的图象.注意到lg10=1,由图易得原方程的实根个数是3个. (例1) ?11??-,0,?【练习】 【答案】?88? ?2?-x,x?-1,??-2x,-1?x?0,??2x,0?x?1,?211x-x??,x?1,xx【解析】由题意得y=-是偶函数,且y=?x作出曲线的图象 x?(如图所示).当k=0时,直线y=kx+1与曲线y= 111-x-x有四个公共点;当k>0时,要 22使它们有四个公共点,则需y=kx+1与y=-x(x≤-1)有一个公共点,此时kx+1=-x,即1方程kx2+x+2=0有两个相等的实数解,从而Δ=1-8k=0,故k=8;当k<0时,根据对称性 ?11?1?-,0,?可得k=-8.从而满足条件的k的取值范围是?88?.