吉林省东北师大附中2015届高三上学期第一次摸底
考试数学（文）试题（解析版）
试卷满分：150分
考试时间：120分钟
【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
第I卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【题文】（1）设集合M={x?Z|x?1},N={x?R|x(x?2)?0},则如图所示的Venn图的阴影部分所表示的集合为
(A){0} (B){0,1} (C)[0,1] 【知识点】交集及其运算.A1
(D)[-1,1]
【答案解析】B 解析：M={x?Z|x?1}=
{-1,0,1}，N={x?R|x(x?2)?0}=
{x|0＃x2}，则MIN={0,1}
【思路点拨】先把集合化简，再求交集即可。 【题文】(2)“x?1”是“x?1”成立的
（A）充分必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分不必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【知识点】充要条件.A2
2【答案解析】C 解析：由x?1解得-1 2所以“x?1”是“x?1”成立的充分不必要条件，故选C. 【思路点拨】先解出x?1，再做出双向判断即可。 224?x2【题文】（3）函数f(x)?的定义域为 lnx（A）[-2,2] (B)(0,2] (C)(0,1)【知识点】函数的定义域。B1 (1,2) (D)(0,1) (1,2] 1 2ì?4-x 0【答案解析】C 解析：由题意可知满足：í，解得其定义域为(0,1) ??x>0且x 1(1,2)， 故选C. 【思路点拨】由题意列出不等式组即可。 【题文】(4)下列命题中，真命题是 （A）?x?R,2x?0 （B）?x?1,lgx?0 （D）?x?R,log1x?0 10?1?（C）?x?R,???0 ?2?x【知识点】命题的真假的判断.A2 【答案解析】A 解析： ?x?R,2x?0为真命题；易知B,C,D为假命题，故选A. 【思路点拨】利用指数函数以及对数函数的性质即可判断。 【题文】（5）“x?1”是“ 1?1”的 x（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【知识点】充要条件．A2 【答案解析】A 解析：由成立．所以 得：当a＞0时，有1＜a，即a＞1；当a＜0时，不等式恒 的充分不必要条件．故应选：A ?a＞1或a＜0，从而a＞1是 【思路点拨】可以把不等式“”变形解出a的取值范围，然后再作判断，具体地说，两 边同乘以分母a要分类讨论，分a＞0，a＜0两类讨论，除了用符号法则，这是解答分式不等式的另一种重要方法． 【题文】（6）若0?b?a?1，则下列不等式成立的是 （A）ab?b?1 22（B）log1b?log1a?0 （C）2?2?2（D）a?ab?1 ba22【知识点】不等式的基本性质．E1 【答案解析】C 解析：b=，a=，则ab=，b=正确；log b a 2 ，故A不正确；a=，ab=，故D不 2 =﹣2，log=﹣1，故B不正确；∵0＜b＜a＜1，2＞1， ∴2＜2＜2，故选：C． 【思路点拨】取特殊值，确定A，B，D不正确，0＜b＜a＜1，2＞1，利用指数函数的单调性，可得C正确． 2 【题文】（7）如图，已知直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积y是时间x的函数，这个函数的图象大致是 (A) (B) (C) (D) 【知识点】直线与圆相交的性质．H4 【答案解析】B 解析：观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求，故选B 【思路点拨】由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项。 【题文】(8)定积分 ?21x2?1dx的值为 x(A) 331?ln2 (B) (C) 3?ln2 (D) 242【知识点】定积分．B13 【答案解析】A 解析：= 故选：A． 【思路点拨】求出被积函数的原函数，直接代入积分上限和积分下限后作差得答案． 【题文】（9）偶函数f(x)的定义域为R，g(x)?f(x?1)，g(x)为奇函数，且g(3)=1，则f(2014)= （A）0 （B）1 （C）-1 （D）2014 【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值．B4 【答案解析】B 解析：∵g（x）是奇函数，∴g（﹣x）=f（﹣x﹣1）=﹣g（x）=﹣f（x﹣1）； 又f（x）是偶函数，∴f（x+1）=﹣f（x﹣1），即f（x﹣1）=﹣f（x+1），∴f（x）=﹣f（x+2）=f（x+4）∴f（x）是周期为4的周期函数；∴f（2014）=f（2+503×4）=f（2）=g（3）=1． 故选B． 【思路点拨】根据g（x）是奇函数及已知条件得到f（x+1）=﹣f（x﹣1），即f（x﹣1）=﹣f（x+1），所以f（x）=﹣f（x+2）=f（x+4），所以函数f（x）的周期是4，所以f（2014）=f（2+503×4）=f（2），所以根据已知条件求f（2）即可． 【题文】（10）函数f(x)=x?ax?bx?a在x=1处有极值10，则点(a,b)的坐标为 323dx= = ． =ln2﹣ln1+ 3 （A）(3,?3) （B）(?4,11) （C）(3,?3)或(?4,11) （D）不存在 【知识点】函数在某点取得极值的条件．B12 【答案解析】B 解析：对函数f（x）求导得 f′（x）=3x﹣2ax﹣b， 又∵在x=1时f（x）有极值10， ∴ ， 2 解得 或 ， 验证知，当a=3，b=﹣3时，在x=1无极值，故选B． 【思路点拨】首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得 即可求出a和b的值． 【题文】（11）若[-1,1]?x|x?tx?t?1,则实数t的取值范围是 （A）[-1,0] （B）[2?22,0] （C）(??,?2] （D）[2?22,2?22] 解之 ?2?【知识点】集合的包含关系判断及应用．A1 【答案解析】A 解析：令f（x）=|x﹣tx+t|，∵[﹣1，1]?{x||x﹣tx+t|≤1}， ∴|f（﹣1）|≤1，|f（1）|≤1，即|1+2t|≤1，解得：﹣1≤t≤0， ∴实数t的取值范围是[﹣1，0]，故选：A． 【思路点拨】令f（x）=|x﹣tx+t|，依题意可得|f（﹣1）|≤1，|f（1）|≤1，解之即可． 【题文】（12）[x]表示不超过x的最大整数，函数f(x)?x?[x] ①f(x)的定义域为R；②f(x)的值域为[0，1）；③ f(x)是偶函数； ④f(x)不是周期函数；⑤f(x)的单调增区间为(k,k?1)(k?N).上面结论中正确的个数是 （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 【知识点】函数解析式的求解及常用方法．B1 【答案解析】C 解析：∵f（x）=|x|﹣[x]，函数的定义域为R ∴f（x+1）=|x+1|﹣[x+1]=|x+1|﹣[x]﹣1=|x|﹣[x]=f（x）， ∴f（x）=|x|﹣[x]在R上为周期是1的函数． ∵当0≤x＜1时，f（x）=|x|﹣[x]=|x|﹣0=|x|， ∴函数{x}的值域为[0，1）， 函数y=|x|﹣[x]为非奇非偶函数， ∵函数y=|x|﹣[x]在区间（0，1）上为增函数， ∴f（x）的单调增区间为（k，k+1）（k∈N） 故①②③⑤正确， 故选：C 2 2 2 4 【思路点拨】根据已知中[x]表示不超过x的最大整数，我们可以分别求出函数y=|x|﹣[x]的值域，奇偶性，周期性，单调性，比较已知中的⑤个结论，即可得到答案． 二、填空题：本大题4小题，每小题5分. x?1?x?2?2e,【题文】（13）设函数f(x)=?若f(f(1))?2，则a的值为2??log3(x?a),x?2______________； 【知识点】函数的值．B1 【答案解析】-5 解析：∵数f（x）= ∴f（1）=2e=2，∴f（f（1））=f（2）=log3（4﹣a）=2， ∴4﹣a=9，解得a=﹣5．故答案为：﹣5． 【思路点拨】由已知得f（1）=2e求出a的值． 【题文】（14）函数f(x)=x3?3x?m恰好有两个零点，则m的值为_____________ 【知识点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．B12 【答案解析】2或-2 解析：∵f（x）=x﹣3x+m， 2 ∴f'（x）=3x﹣3， 由f'（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1，此时函数单调递增， 由f'（x）＜0，得﹣1＜x＜1，此时函数单调递减． 即当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，当x=1时，函数f（x）取得极小值． 3 要使函数f（x）=x﹣3x+a只有两个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0， 由极大值f（﹣1）=﹣1+3+m=m+2=0，解得m=﹣2；再由极小值f（1）=1﹣3+m=m﹣2=0，解得m=2．综上实数m的取值范围：m=﹣2或m=2， 故答案为：﹣2或2． 【思路点拨】若函数f（x）恰好有两个不同的零点，等价为函数的极值为0，建立方程即可得到结论 2【题文】（15）函数f(x)是定义在(0,4)上的减函数，且f(a?a)?f(2)，则a的取值范围 ，f（f（1））=2， 1﹣1 1﹣1 =2，从而f（f（1））=f（2）=log3（4﹣a）=2，由此能 3 是__. 【知识点】函数单调性的性质．B3 【答案解析】（-1,0） （1,2） 解析：根据已知条件，原不等式变成 ，解 得﹣1＜a＜0，或1＜a＜2； ∴a的取值范围是（﹣1，0）∪（1，2）． 故答案为：（﹣1，0）∪（1，2）． 5