昌平区2012－2013学年第二学期高三年级期第二次质量抽测
数 学 试 卷（理科）
（满分150分，考试时间 120分钟）2013.4
考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。 2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填
写。
3． 答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹
的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不
要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。
5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)
（1）已知集合A?{x|2x?1}，B?{x|x?1}，则A?B?
A. {x|x?1} B. {x|x?0} C. {x|0?x?1} D. {x|x?1} （2）已知命题 p:?x?R，x≥2，那么下列结论正确的是
A. 命题?p:?x?R，x≤2 B．命题?p:?x?R，x?2 C．命题?p:?x?R，x≤?2 D．命题?p:?x?R，x??2
?x?3?t, (3)圆x?(y?2)?1的圆心到直线?（t为参数）的距离为
y??2?t?22A.
2 B.1 C.2 D. 22 2(4)设??x?y?0,2与抛物线y??4x的准线围成的三角形区域（包含边界）为D，P(x,y)?x?y?0为D内的一个动点，则目标函数z?x?2y的最大值为
A. ?1 B. 0 C. 2 D. 3 (5) 在区间?0,??上随机取一个数x，则事件“tanxgcosx?1”发生的概率为 2
第 1 页
A.
1123 B. C. D. 3234(6) 已知四棱锥P?ABCD的三视图如图所示， 则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 A．3 B．25 C．6 D．8
（7）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，?BAD?60，E为CD的中点，
?334正视图222俯视图2侧视图DEC????????则AE?BD的值为
AB A．1 B．3 C．5 D．7
(8)设等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1?1，
a99a100?1?0，
a99?1?0.给出下列结论：
a100?1① 0?q?1； ② a99?a101?1?0；
③ T100的值是Tn中最大的；④ 使Tn?1成立的最大自然数n等于198. 其中正确的结论是
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
一、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
3（9）二项式(2x?)的展开式中x的系数为___________.
1x5（10）双曲线x?2y?1(b?0)的一条渐近线方程为y?3x，则b2DECOA第 2 页 2Bb? . （11） 如图，AB切圆O于点A,AC为圆O的直径，
BC交圆O于点D，E为CD的中点，且
BD?5,AC?6,则CD?__________； AE?__________.
（12）执行如图所示的程序框图，
开若①是i?6时，输出的S值为 ；
若①是i?2013时，输出的S值为 .
i?1,S??4(x?4)?1?,（13）已知函数f(x)?? x??log2x,(0?x?4)若关于x的方程f(x)?k有两个不同的实根，则实数
ai?cosi??12i?i?1S?S?a ① 否 k的取值范围是 .
是 输出
（14）曲线C是平面内到直线l1:x??1和直线
S结图1
l2:y?1的距离之积等于常数k2?k?0?的点的轨迹.给出下列四个结论：
①曲线C过点(?1,1)； ②曲线C关于点(?1,1)对称；
③若点P在曲线C上，点A,B分别在直线l1,l2上，则PA?PB不小于2k.
④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线x??1、点(?1,1)及直线y?1对
2称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0PP12P3的面积为定值4k.
其中，所有正确结论的序号是 .
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （15）（本小题满分13分）
已知函数f(x)?sin(??2x)?23cos2x,x?R.
第 3 页
（Ⅰ）求f()；
?6（Ⅱ）求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
（16）（本小题满分14分）
如图,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形, 侧面PAD?底面ABCD，且PA?PD?2AD, 2PDAFBECE、F分别为PC、BD的中点． (Ⅰ) 求证：EF //平面PAD； (Ⅱ) 求证：面PAB?平面PDC；
(Ⅲ) 在线段AB上是否存在点G,使得 二面角C?PD?G的余弦值为
1？说明理由. 3
（17）（本小题满分13分）
某市为了提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，对市民进行了“生活满意”度的调查．现随机抽取40位市民，对他们的生活满意指数进行统计分析，得到如下分布表：
满意级别 非常满意 满意指数（分） 90 人数（个）
（I）求这40位市民满意指数的平均值；
（II）以这40人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数，若从全市市民（人数很多）中任选3人，记?表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数．求?的分布列；
（III）从这40位市民中，先随机选一个人，记他的满意指数为m，然后再随机选另一个人，记他的满意指数为n，求n?m?60的概率．
（18）（本小题满分13分）
15 满意 60 17 一般 30 6 不满意 0 2 已知函数f(x)?12x?alnx(a?0). 2（Ⅰ）若a?2,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
第 4 页
（Ⅱ）求f(x)在区间[1,e]上的最小值；
（III）若f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点，求a的取值范围.
（19）（本小题满分13分）
yMNPA FOHlBxx2y2如图，已知椭圆2?2?1(a?b?0)的长
ab轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率e?Q3，F为椭圆的左焦点，且2AFgBF?1 .
（I）求此椭圆的方程；
（II）设P是此椭圆上异于A,B的任意一点，PH?x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP?PQ. 连接AQ并延长交直线l于点M,N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．
（20）（本小题满分14分）
设数列{an}对任意n?N都有(kn?b)(a1?an)?p?2(a1?a2??an)(其中k、b、
*p是常数) ．
（I）当k?0，b?3，p??4时，求a1?a2?a3???an；
（II）当k?1，b?0，p?0时，若a3?3，a9?15，求数列{an}的通项公式； （III）若数列?an?中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭
数列”.当k?1，b?0，p?0时，设Sn是数列?an?的前n项和，a2?a1?2，试问：是否存在这样的“封闭数列” ?an?，使得对任意n?N，都有Sn?0，且
*1111111．若存在，求数列?an?的首项a1的所有取值；???????12S1S2S3Sn18若不存在，说明理由．
第 5 页