昌平区2012－2013学年第二学期高三年级期第二次质量抽测
数 学 试卷 参考答案（理科）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．) 题 （1） 号 答案 C B A D C C A （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） （9）80 （10）3 （11）4 ；26 （12）5；2013 （13）(1, 2) （14） ②③④
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
（15）(本小题满分13分) 解：
（
Ⅰ
）
??f(x)?sin(??2x)?23cos2x?sin2x?3cos2x?3?2sin(2x?)?3..4分
3???3 ?f()?2sin(?)?3?2??3?23..6分
6332?2???.??????????8分 （Ⅱ）f(x)?2sin(2x?)?3的最小正周期T?32???5???x?k??(k?Z)可得 又由2k???2x??2k???k??23212125???? 函数f(x)的单调递增区间为?k??,k???(k?Z).???13分
1212??
（16）(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明：连结AC?BD?F，
ABCD为正方形，F为AC中点， E为PC中点.
∴在?CPA中，EF//PA ．．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分
且PA?平面PAD，EF?平面PAD ∴EF//平面PAD ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
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(Ⅱ)证明：因为平面PAD?平面ABCD， 平面PAD?面ABCD?AD
ABCD为正方形，CD?AD，CD?平面ABCD 所以CD?平面PAD.
∴CD?PA ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
又PA?PD?且?APD?2AD，所以?PAD是等腰直角三角形， 2 即PA?PD
?2 CD?PD?D，且CD、PD?面PDC
?PA?面PDC
又PA?面PAB，
∴面PAB?面PDC.????..9分 (Ⅲ) 如图,取AD的中点O, 连结OP,OF. ∵PA?PD, ∴PO?AD. ∵侧面PAD?底面ABCD,
zPDOAxGFBECy平面PAD?平面ABCD?AD,
∴PO?平面ABCD,
而O,F分别为AD,BD的中点,∴OF//AB, 又ABCD是正方形,故OF?AD. ∵PA?PD?2AD,∴PA?PD,OP?OA?1. 2以O为原点,直线OA,OF,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则有A(1,0,0),F(0,1,0),D(?1,0,0),P(0,0,1). 若在AB上存在点G,使得二面角C?PD?G的余弦值为设G(1,a,0)(0?a?2).
1 ，连结PG,DG. 3????由(Ⅱ)知平面PDC的法向量为PA?(1,0,?1).
?????????设平面PGD的法向量为n?(x,y,z).∵DP?(1,0,1),GD?(?2,?a,0),
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???????????x?0?y?z?02∴由n?DP?0,n?GD?0可得?,令x?1,则y??,z??1,
a??2?x?a?y?0?z?0???????????2n?PA221故n?(1,?,?1)∴cos?n,PA????????, ??43a4nPA2?2?2?2a2a解得，a?1. 2所以，在线段AB上存在点G(1,,0),使得二面角C?PD?G的余弦值为 .．．．．．．．．．．．．．14分
（17）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）记X表示这40位市民满意指数的平均值，则
121. 3X?1(90?15?60?17?30?6?0?2)?63.75（分）…………………2分 40（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2、3.
104013P(??0)?C3()()?55125
1214112 P(??1)?C3()()?551254148P(??2)?C32()2()1?55125
6434310 P(??3)?C3()()?55125?ξ的分布列为 ξ P 0 1 2 3 1 12512 1254864 125125?????8分
（Ⅲ）设所有满足条件n?m?60的事件为A
1①满足m?0且n?60的事件数为：A21A17?34 1②满足m?0且n?90的事件数为：A21A15?30 1③满足m?30且n?90的事件数为：A61A15?90
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?P(A)?34?30?9077 ?2A4078077.……………………13分 780所以满足条件n?m?60的事件的概率为
（18）（本小题满分13分） 解：（I）a?2,f(x)?122x?2lnx,f'(x)?x?, 2x1f'(1)??1,f(1)?,
2f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x?2y?3?0.………………………..3分
ax2?a. （Ⅱ）由f'(x)?x??xx由a?0及定义域为(0,??)，令f'(x)?0,得x?a.
①若a?1,即0?a?1,在(1,e)上，f'(x)?0，f(x)在[1,e]上单调递增， 因此,f(x)在区间[1,e]的最小值为f(1)?1. 2②若1?a?e,即1?a?e2,在（1,a)上，f'(x)?0，f(x)单调递减；在（a,e)上，
f'(x)?0，f(x)单调递增，因此f(x)在区间[1,e上的最小值为f(a)?1a(1?lna). 2③若a?e,即a?e2,在(1,e)上，f'(x)?0，f(x)在[1,e]上单调递减， 因此,f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(e)?综上，当0?a?1时，fmin(x)?2当a?e时，fmin(x)?12e?a. 2112；当1?a?e时，fmin(x)?a(1?lna)； 2212e?a. ……………………………….9分 22(III) 由（II）可知当0?a?1或a?e时，f(x)在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.
当1?a?e时，要使f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点，则
2
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?1?2a(1?lna)?0,??a?e112??e?a?e. ∴?f(1)??0, 即?，此时，1222a?e???212?f(e)?e?a?0,?2?所以，a的取值范围为(e,12e).…………………………………………………………..13分 2（19）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意可知，A(?a,0), B(a,0)，F(?c,0)， AFgBF?(a?c)(a?c)?1
?a2?c2?b2?1
c2a2?b2a2?1332?2? ，解得a2?4 又e?， e?2?2aaa42x2?y2?1…………………………5分 所求椭圆方程为4 （Ⅱ）设P(x0,y0)，则Q(x0,2y0)(x0?2,x0??2)
由A(?2,0),得kAQ?2y0 x0?22y0(x?2) x0?2所以直线AQ方程y?由B(?2,0),得直线l的方程为x?2,
?M(2,8y04y0) ?N(2,) x0?2x0?2 由 kNQ4y0?2y0x0?22xy??200
2?x0x0?422又点P的坐标满足椭圆方程得到：x0+4y0?4 ，
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