mn（Ⅲ）设P(m,n)，则OP中点为(,)， 因为O、P两点关于直线y?k(x?4)对称，
22m?8k2?n?k(?4)m??2??km?n?8k??221?k所以?，即?，解之得?， nm?nk?08k???n???k??1???m1?k2?
???????8分 将其代入抛物线方程，得：
8k28k2，所以，k2?1. (?)?4?221?k1?k ?????????9分
?y?k(x?4)?联立 ?x2y2，消去y，得：
??1?2b2?a
(b2?a2k2)x2?8k2a2x?16a2k2?a2b2?0.
?????????10分
由??(?8k2a2)2?4(b2?a2k2)(16a2k2?a2b2)?0，得 16a2k4?(b2?a2k2)(16k2?b2)?0，即a2k2?b2?16k2，
???????12分
34，即2a?34， 2将k2?1，b2?a2?1代入上式并化简，得 2a2?17，所以a?因此，椭圆C1长轴长的最小值为34. ?????????13分 20．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得:
f1(x)?cosx,x?[0,?] ,
?????????1分
f2(x)?1,x?[0,?] .
?????????2分
?x2,x?[?1,0)（Ⅱ）f1(x)??,
0,x?[0,4]? ?????????3分 ?1,x?[?1,1) , f2(x)??2x,x?[1,4]?
用心 爱心 专心
?????????4分
?1?x2,x?[?1,0)?, f2(x)?f1(x)??1,x?[0,1)?2?x,x?[1,4]
?????????5分
当x?[?1,0]时，1?x2?k(x?1)?k?1?x,k?2; 当x?(0,1)时，1?k(x?1)?k?21?k?1; x?116x2当x?[1,4]时，x?k(x?1)?k??k?.
5x?116综上所述，?k?
5 ?????????6分
即存在k?4，使得f(x)是[?1,4]上的4阶收缩函数.
?????????7分
（Ⅲ）f?(x)??3x2?6x??3x?x?2?,令f'(x)?0得x?0或x?2.
函数f?x?的变化情况如下：
令f(x)?0，解得x?0或3.
?????????8分
ⅰ）b?2时，f(x)在[0,b]上单调递增，因此，f2(x)?f?x???x3?3x2，f1(x)?f?0??0.
因为f(x)??x3?3x2是[0,b]上的2阶收缩函数， 所以，①f2(x)?f1?x??2?x?0?对x?[0,b]恒成立；
②存在x??0,b?，使得f2(x)?f1?x???x?0?成立.
?????????9分
①即：?x3?3x2?2x对x?[0,b]恒成立， 由?x3?3x2?2x，解得：0?x?1或x?2，
要使?x3?3x2?2x对x?[0,b]恒成立，需且只需0?b?1.
用心 爱心 专心
.?????????10分
②即：存在x?[0,b]，使得xx2?3x?1?0成立. 由xx2?3x?1?0得：x?0或所以，需且只需b?综合①②可得：3?5. 2????3?53?5?x?， 22
3?5?b?1. 2 .?????????11分
3ⅱ）当b?2时，显然有?[0,b]，由于f(x)在[0,2]上单调递增，根据定义可得：
23273，f1()?0， f2()?28233?3?27?2??3， 可得 f2()?f1???22?2?8
此时，f2(x)?f1?x??2?x?0?不成立.
.?????????13分
3?5?b?1. 2
综合ⅰ）ⅱ）可得：
注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用已.
3只是因为简单而2用心 爱心 专心