小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+（1+设a+b
2
2
=
）2．善于思考的小明进行了以下探索： =（m+n
）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b
．
=m2+2n2+2mn
∴a=m+2n，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b
的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+bb，得：a= m+3n ，b= 2mn ；
2
2
=
，用含m、n的式子分别表示a、
=（ 1 + 1
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 4 + 2 ）； （3）若a+4
=
2
，且a、m、n均为正整数，求a的值？
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；
（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．
=
，
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【解答】解：（1）∵a+b∴a+b
2
=m2+3n2+2mn
2
，
∴a=m+3n，b=2mn． 故答案为：m+3n，2mn．
2
2
（2）设m=1，n=1， ∴a=m+3n=4，b=2mn=2． 故答案为4、2、1、1．
（3）由题意，得： a=m2+3n2，b=2mn
2
2
∵4=2mn，且m、n为正整数， ∴m=2，n=1或者m=1，n=2， ∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．
，?ABCD的
28．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线（1）求k的值； （2）点P在双曲线
经过C、D两点．
上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四
边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；
（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，
的值是否发生改变？若改变，求出其变化范
围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；
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（2）由（1）知k=4可知反比例函数的解析式为y=，再由点P在双曲线上，点Q在
y轴上，设Q（0，y），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；
（3）连NH、NT、NF，易证NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN=HT由此即可得出结论． 【解答】解：（1）∵∴
，
+（a+b+3）2=0，且
≥0，（a+b+3）2≥0，
解得：，
∴A（﹣1，0），B（0，﹣2）， ∵E为AD中点， ∴xD=1， 设D（1，t）， 又∵DC∥AB， ∴C（2，t﹣2）， ∴t=2t﹣4， ∴t=4， ∴k=4；
（2）∵由（1）知k=4， ∴反比例函数的解析式为y=， ∵点P在双曲线
上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，）， ①当AB为边时：
如图1所示：若ABPQ为平行四边形，则
=0，解得x=1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；
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如图2所示；若ABQP为平行四边形，则﹣6）；
=，解得x=﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，
②如图3所示；当AB为对角线时：AP=BQ，且AP∥BQ； ∴
=，解得x=﹣1，
∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；
故P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣
（3）连NH、NT、NF， ∵MN是线段HT的垂直平分线， ∴NT=NH，
∵四边形AFBH是正方形， ∴∠ABF=∠ABH，
在△BFN与△BHN中， ∵
，
∴△BFN≌△BHN， ∴NF=NH=NT，
∴∠NTF=∠NFT=∠AHN，
四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF=180°，而∠NTF=∠NFT=∠AHN， 所以，∠ATN+∠AHN=180°，所以，四边形ATNH内角和为360°， 所以∠TNH=360°﹣180°﹣90°=90°． ∴MN=HT， ∴
=．
4），Q3（0，2）；
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【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，难度较大．
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