而取“=”的条件为
x?25x，
即x=5，故选（B）。
点评：一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质，解决好实际问题。
例4．（2009福州八中）某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)=3700x+45x2-10x3（单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x)。 （Ⅰ）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值成本）
（Ⅱ）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
（Ⅲ）求边际利润函数MP(x)单调递减时x的取值范围，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
解 （Ⅰ）P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x-5000,(x?N*,且 MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275，(x?N*,且1≤x≤19) （Ⅱ）P?(x)??30x?90x?3240??30(x?12)(x?9).
21≤x≤20);
∴当0＜x＜12时P?(x)＞0,当x＜12时，P?(x)＜0. ∴x=12，P（x）有最大值. 即年造船量安排12 艘时，可使公司造船的年利润最大．
22
（Ⅲ）∵MP（x）=-30x+60x+3275=-30(x-1)+3305, 所以，当x≥1时，MP（x）单调递减，x的取值范围为[1,19]，且x?N
*
MP(x)是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少．
例5．（2008湖南理21．） 已知函数f(x)?14x?x?4392x?cx有三个极值点
2（I）证明：?27?c?5；
（II）若存在实数c，使函数f(x)在区间?a,a?2?上单调递减，求a的取值范围。 解：（I）因为函数f(x)?314x?x?24392x?cx有三个极值点,
2所以f?(x)?x?3x?9x?c?0有三个互异的实根.
设g(x)?x?3x?9x?c,则g?(x)?3x?6x?9?3(x?3)(x?1), 当x??3时，g?(x)?0, g(x)在(??,?3)上为增函数; 当?3?x?1时，g?(x)?0, g(x)在(?3,1)上为减函数; 当x?1时，g?(x)?0, g(x)在(1,??)上为增函数; 所以函数g(x)在x??3时取极大值,在x?1时取极小值.
322 当g(?3)?0或g(1)?0时,g(x)?0最多只有两个不同实根. 因为g(x)?0有三个不同实根, 所以g(?3)?0且g(1)?0. 即?27?27?27?c?0,且1?3?9?c?0,
解得c??27,且c?5,故?27?c?5.
（II）由（I）的证明可知，当?27?c?5时, f(x)有三个极值点.
不妨设为x1，x2，x3（x1?x2?x3），则f?(x)?(x?x1)(x?x2)(x?x3). 所以f(x)的单调递减区间是(??，x1],[x2,x3] 若f(x)在区间?a,a?2?上单调递减，
则?a,a?2??(??，x1], 或?a,a?2??[x2,x3],
若?a,a?2??(??，x1],则a?2?x1.由（I）知，x1??3,于是a??5. 若?a,a?2??[x2,x3],则a?x2且a?2?x3.由（I）知，?3?x2?1.
又f?(x)?x3?3x2?9x?c,当c??27时，f?(x)?(x?3)(x?3)2; 当c?5时，f?(x)?(x?5)(x?1)2.
因此, 当?27?c?5时，1?x3?3.所以a??3,且a?2?3.
即?3?a?1.故a??5,或?3?a?1.反之, 当a??5,或?3?a?1时， 总可找到c?(?27,5),使函数f(x)在区间?a,a?2?上单调递减. 综上所述, a的取值范围是(??，?5)?(?3,1).
题型3：分段函数型
例6．（2009福建省）已知某企业原有员工2000人,每人每年可为企业创利润3.5万元.为应对国际金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的5％,并且每年给每位待岗员工发放生活补贴O.5万元.据评估,当待岗员工人数x不超过原有员工1％时,留岗员工每人每年可为企业多创利润(1-81100x)万元；当待岗员工人数x超过原有员工1％时,留岗员工
每人每年可为企业多创利润O.9595万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗?
解 设重组后,该企业年利润为y万元. ∵2000×1%=20,∴当0 81100x)-0.5x=-5(x+ 324x)+9000.81. ∴x≤100,∴当20 y=(2000-x)(3.5+0.9595)-0.5x=-4.9595x+8919. ∴ 324?)?9000.81,(0?x?20且x?N),??5(x?y??x??4.9595x?8919,(20?x?100且x?N).? 当0 324x)+9000.81≤-5×2324+9000.81=8820.81, 324x当且仅当x=,即x=18时取等号,此时y取得最大值. 当20 综上所述x=18时,y有最大值8820.81万元. 即要使企业年利润最大,应安排18名员工待岗. 例7．（2008广东，17） （本小题满分12分） 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则 ? f?x???5604x8??216?01000010800??5?60x?48x?10,x?Z 2000xx购地总费用建筑总面积） ?? f??x??48?10800x2, 令 f??x??0 得 x?15 当 x?15 时，f??x??0 ；当 0?x?15时，f??x??0 因此 当x?15时，f（x）取最小值f?15??2000； 答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。 点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运用所学知识解决实际问题的能力. 题型4：三角函数型 例8．某港口水的深度y(m)是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记 作y=f(t)。下面是某日水深的数据： t/h y/m 经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数y=Asinωt+b的图象。（1）试根据以上数据求出函数y=f(t)的近似表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留多少时间（忽进出港所需的时间）？ 解析：题中直接给出了具体的数学模型，因此可直接采用表中的数据进行解答 A?13?72?30 10.0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0 （1）由表中数据易得 y?3siin，周期T=12， ??2?12??6，b=10， ?6所以 t?10。 （2）由题意，该船进出港时，水深应不小于 5+6.5=11.5（m）， 3sin?6所以 t?10?11.512， ?， 化为 sin?6t?应有 2k???6?6t?2k??5?6， 解得12k+1≤t≤12k+5 （k∈Z）。 在同一天内取k=0或1， 所以1≤t≤5或13≤t≤17， 所以该船最早能在凌晨1时进港，最晚在下午17时出港，在港口内最多停留16个小时。 点评：三角型函数解决实际问题要以三角函数的性质为先，通过其单调性、周期性等性质解决实际问题。特别是与物理知识中的电压、电流、简谐振动等知识结合到到一块来出题，为此我们要对这些物理模型做到深入了解 题型5：不等式型 a?0.1?15ln,(x?6)??a?x例9．（2009年上海卷理）有时可用函数f(x)?? ?x?4.4,(x?6)?x?4?描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（x?N），f(x)表 *示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。 （1）证明 当x?7时，掌握程度的增加量f(x?1)?f(x)总是下降； （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为 (115,121],(121,127],(121,133]。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应 的学科。 证明 （1）当x?7时，f(x?1)?f(x)?0.4(x?3)(x?4) 而当x?7时，函数y?(x?3)(x?4)单调递增，且(x?3)(x?4)>0……..3分 故f(x?1)?f(x)单调递减 ?当x?7时，掌握程度的增长量f(x?1)?f(x)总是下降……………..6分 （2）由题意可知0.1+15ln整理得 aa?6?e0.05aa?6=0.85……………….9分 解得a?ee0.050.05?1?6?20.50?6?123.0,123.0?(121,127]…….13分 由此可知，该学科是乙学科……………..14分 例10．（2008湖北，文、理19） （本不题满分12分） 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？