解法1：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab=9000.
广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0. 广告的面积S＝(a+20)(2b+25)
＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b ≥18500+2
25a?40b=18500+1000ab?24500.
58a,代入①式得a=120，从而b=75.
①
当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b=
即当a=120，b=75时,S取得最小值24500.
故广告的高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小.
解法2：设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，
＞20，y＞25
两栏面积之和为2(x－20)广告的面积S=xy=x(整理得S=
360000x?2018000x?20y?252?18000,由此得y=18000x?20?25x,
18000x?20?25,
y?252,其中x
?25)＝
?25(x?20)?18500.
因为x－20＞0，所以S≥2
360000x?20360000x?20?25(x?20)?18500?24500.
当且仅当?25(x?20)时等号成立，
18000x?20此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500，
+25,得y＝175，
故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.
点评：本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力。以及函数概念、性质和不等式证明的基本方法。
题型6：指数、对数型函数
例11．有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合
用g(t)?pr?[g(0)?pr]er?tv(p?0)，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我
们称其湖水污染质量分数），g(0)表示湖水污染初始质量分数。
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数； （2）分析g(0)?pr时，湖水的污染程度如何。
解析： （1）设0?t1?t2，
prr?t1vr?t2v因为g(t)为常数，g(t1)?g(t2)，即[g(0)?则g(0)?pr][e?e]?0，
；
（2）设0?t1?t2，
prr?t1vr?t2vg(t1)?g(t2)?[g(0)?rr][e?e]
=[g(0)?pr]?evt2r?et1?t2vt1
ev因为g(0)?pr?0，0?t1?t2，g(t1)?g(t2)。污染越来越严重。
点评：通过研究指数函数的性质解释实际问题。我们要掌握底数0?a?1,a?1两种基本情况下函数的性质特别是单调性和值域的差别，它能帮我们解释具体问题。譬如向题目中出现的“污染越来越严重”还是“污染越来越轻”
例12．现有某种细胞100个，其中有占总数
12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分
10裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过10个？（参考数据：lg3?0.477,lg2?0.301）.
解析：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数， 1小时后，细胞总数为?100?2小时后，细胞总数为3小时后，细胞总数为
21??3294112?100?2?1212??329432?100；
94?100； ?100；
212?100??100??100?2??100?2?2784小时后，细胞总数为
12?278?100?12?278?100?2?8116?100；
x?3?可见，细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为： y?100???，x?N?
?2?3?3??3?由100????1010，得???108，两边取以10为底的对数，得xlg?8，
2?2??2?8∴x?，
lg3?lg2xx∵
8lg3?lg2?80.477?0.301?45.45，
∴x?45.45.
答：经过46小时，细胞总数超过1010个。
点评：对于指数函数、对数函数要熟练应用近似计算的知识，来对事件进行合理的解析。 （2008广东文17） （本小题满分12分）
某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则
? f?x???5604x8??216?01000010800??5?60x?48x?10,x?Z
2000xx购地总费用建筑总面积）
?? f??x??48?10800x2, 令 f??x??0 得 x?15
当 x?15 时，f??x??0 ；当 0?x?15时，f??x??0
因此 当x?15时，f（x）取最小值f?15??2000； 答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。
五．【思维总结】
1．将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2．怎样选择数学模型分析解决实际问题
数学应用问题形式多样，解法灵活。在应用题的各种题型中，有这样一类题型：信息由表格数据的形式给出，要求对数据进行合理的转化处理，建立数学模型，解答有关的实际问题。解答此类题型主要有如下三种方法：
（1）直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解；
（2）列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较；
（3）描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据
在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决。下面举例进行说