三、描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的解；（ 15分）
解: (1) 特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= –2，λ2= –3。齐次解为
-2t -3t
yh(t) = C1e + C2e
– t
当f(t) = 2e时，其特解可设为
-t
yp(t) = Pe 将其代入微分方程得 e?s?s?s(1?e?se) -t -t-t-t
2 Pe+ 5(– Pe) + 6Pe = 2e s解得 P=1
-t
于是特解为 yp(t) = e
-2t-3t -t
全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e + C2e+ e 其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，
y’(0) = –2C1 –3C2 –1= –1
解得 C1 = 3 ，C2 = – 2
– 2t – 3t – t
最后得全解 y(t) = 3e– 2e + e , t≥0 ?se四、如图信号f(t)的拉氏变换F(s) = (1?e?s?se?s)，试观 2s
察y(t)与f(t)的关系，并求y(t) 的拉氏变换Y(s) （10分）
A卷 【第2页 共3页】 解y(t)= 4f(0.5t) Y(s) = 4×2 F(2s) 8e?2s?(1?e?2s?2se?2s)2 ?2s? 2e?2s?2(1?e?2s?2se?2s) s
（12分）
kkk
解：部分分解法 F(s)?1?2?3（m?n） ss?1s?3 其中k1?sF(s)s?0
10(s?2)(s?5)100??
(s?1)(s?3)s?03 k 3?(s?3)F(s)s??3 10(s?2)(s?5)10??? s(s?1)3s??3 10?100??f(t)???20e?t?e?3t??(t) 3?3? 解：k2?(s?1)F(s)s??1?10(s?2)(s?5)??20s(s?3)s??1解：?F(s)?1002010??3ss?13(s?3)六、有一幅度为1，脉冲宽度为2ms的周期矩形脉冲，其周期为8ms，如图所示,求频谱并画出频谱图频谱图。（10分）
1f(t)0…Tt-T??2?2解：付里叶变换为
1e?jn?t?T?jn??2??2?2Tsin(n??)2n?
Fn为实数，可直接画成一个频谱图。
14Fn?2?02?4?ω???
12??1??????周期信号 f(t) = 1 ? cos ? ? sin ? t ? ? ? t ?23?4?36??4
试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。 解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即 12???????1??f(t)?1?cos?t?????cos?t??? 2362??4?4?3
显然1是该信号的直流分量。 1??2?? 1?? ??cos的周期T1 = 8 ? ? ? 的周期T2 = 6 cos?t??
2?43?4?33?所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T = π/12，根据帕斯瓦尔等式，其功率为
22 1?1?1?1?371???????P= 2 4 32 2 ? 2???
??? 是f(t)的[π/4]/[π/12 ]=3次谐波分量； 1 cos ? t???243 ?? 1 cos ? ? ? 2 ? ? 是f(t)的[π/3]/[π/12 ]=4次谐波分量；
?? 4?33?画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图 ?nAn? A013 21 o?1???2ω 341264 o????ω2??64312 3(a)(b)
五、计算题（共15分）某LTI系统的微分方程为：y??(t)?5y?(t)?6y(t)?2f?(t)?6f(t)。
已知f(t)??(t)，y(0?)?2，y?(0?)?1。
求分别求出系统的零输入响应、零状态响应和全响应yzi(t)、yzs(t)和y(t)。
解：
1、F(s)????(t)e?stdt???e?st1100dt??se?st|?0?s。（2分） 2、s2Y(s)?sy(s)?y?(0?)?5sY(s)?5y(0?)?6Y(s)?2sF(s)?2f(0?)?6F(s)分）
3、Yy(0?)2s?1175zi(s)?sy(0?)?y?(0?)?5s2?5s?6?s2?5s?6?s?2?s?3 Y（2s?3）12111zs(s)?s2?5s?6?s?s?2?s?s?s?2 Ys)?2s?112s?31zi(s2?5s?6?s2?5s?6?s（5分）
4、yzi(t)?(7e?2t?5e?3t)?(t)
yzs(t)?(1?e?2t)?(t)
y(t)?(1?6e?2t?5e?3t)?(t)（5分）
3（