解题步骤
一、求极限：1）先代入判类型
2）再根据类型确定方法，如用到现成结论须说明。 例1、 limx?sinx??1x
【解】：（1）0??型
sin1x?1（由第一个重要极限得）
（2）原式=limx??1x1x 或原式=limx?x???1 （由等价无穷小x??,1x?0?sin1x?1x）
?x4?sin?2例2、lim3? x??x?2x?1x?3??x?12【解】：（1）0?有界函数 （2）?limx?1x?2x?132x???0，sinx24x?3有界
由无穷小性质：原式=0 例3、lime?elnx00x
x?1【解】：（1）型
（2）利用洛必达法则：原式=lim?ex?e???limx?1exx?1?lnx??1x?e
二、求导数：
1、利用定义求导数：1）先写出导数定义式 f??x0??limf?x0??x??f?x0??x?limf?x0?h??f?x0?h
?x?0h?0 ?limf?x0?x??f?x0?xx?0?limf?x??f?x0?x?x0
x?x0 导函数：f??x??limf?x??x??f?x??x
?x?0 2）再将要求的式子凑成定义式
1
例1：设f??1??a，求limf?4?3x??f?1?x?1
x?1 【解】：（1）f??1??limh?0f?1?h??f?1?h
（2）令x?1?h， 原式=limf?1?3h??f?1?h????h?0?limf?1?3h??f?1??3h?3h?0???3???3f??1???3a
例2：设f??2??a，求limn?f?2?n??1???f2???? n?? 【解】：（1）f??2??limh?0f?2?h??f?2?h
（2）令
1n?h，
原式=limf?2?h??f?2?hh?0?f??2??a
例3：设有任意的x,y有f?xy??f?x??f 当x?1时f??x??1x?y?且f??1??1，证明：
f?x??x??f?x??x 【证明】：（1）f??x??lim
?x?0???x??f?x?1????f?x?f?x??x??f?x?x?????lim （2）f??x??lim
?x?0?x?0?x?x?x?x?f1????x??x???f?f?x? （由已知）
?lim?x?0?x??f?1???f?1?111x????f??1??? ?lim?x?0?xxxxx （f?xy??f?x??f?y??f?1??0）
2
2、求导数（复合函数、隐函数、参数方程导数、） 复合函数求导：1）分解函数成简单函数。
2）写出复合函数的求导公式。 a)y?f?u?,u???x??dydx?f??u?????x?
dydx?f??u????v?????x?
dydx?f??u???g??x?????v?????x??
b)y?f?u?,u???v?,v???x?? c)y?f?u?,u?g?x????v?,v???x?? 3）最后将中间变量回代。 例1、y?ln?x2?x?1?，求
dydx
【解】：（1）y?lnu,u?x2?x?1 （2）
例2、y?fdy2x?1?12??lnu????x?x?1???2x?1??2 dxux?x?1?2x?1，求y?
?【解】：（1）y?f?u?,u? （2）y??f??u??v,v?x?1
??1??f??u??12v2??v???x2?2x?f??x?1?2?xx?12
例3、y?lnx??x?1，求y?
v,v?x?1
22?【解】：（1）y?lnu,u?x? （2）y???lnu????x??????v???12??x?1????u1????1??2x?
2v?? ?x?1???1?2x?1????2x?1?x1x?12 隐函数求导：1）写明等式两边同时对x求导。
2）利用复合函数的运算法则进行求导，遇含y的函数则先对y 求导再乘以y?。 3）解出y?表达式。
4）如求y??x0?，则无需操作第3）步，只需将x0,y0代入2）中方程解得。
22y 例1、方程4x?xy?y?e确定函数y?f?x?，求y?
3
【解】：(1)等式两边同时对x求导：?4x2?xy?y2????ey??
（2）?4x2????xy????y2????ey???8x?x?y?xy??2y?y??ey?y? （3）y??8x?ye?x?2yx?1yy
例2、方程sinxy?ln?0确定函数y?f?x?，求y??0?
【解】：（1）当x?0时y?1
??x?1?（2）等式两边同时对x求导：?sinxy?ln??0?
y?? （3）?sinxy???ln?x?1????lny????0???cosxy??xy???ln?x?1????lny???0 ?cosxy??x?y?xy???1x?11x?1??x?1???1y?y??0
?cosxy??y?xy????11y?y??0，将x?0,y?1代入方程得
11 ?cos0??1?0?y??0?????x???t???y???t?0?1??y??0??0?y??0??0
参数方程?求导：1）先分别求出???x?,???x?
?dy?d??2f??t?dydy???t??dx????f?t?， 2? 2）写出公式
dxdx???t?dx???t? 3）进行整理（若要求二阶导数的话）
2?x?sintdydy,例1、设?，求 2dxdx?y?cos2t【解】：（1）???t???sint???cost
???t???cos2t????sin2t??2t????2sin2t
（2）
dydx????t????t???2sin2tcost??4sint，令?4sint?f?t?
4
（3）
dydx22?f??t????t????4sint??cost??4costcost??4
3、对数求导法：适用于求幂指函数或多个因子的乘积或商的导数
1）等式两边同时取对数。
2）等式两边同时对x求导（利用隐函数求导方法，等式左边的
导数为
1y。 ?y?）
3）整理，并将y的表达式代入。 例1、设y?xsinx?x?0?，求y?
【解】：（1）等式两边同时取对数：lny?lnxsinx?lny?sinx?lnx （2）等式两边同时对x求导：?lny????sinx?lnx?? ?1y1?y???sinx???lnx?sinx??lnx??
??1??y???cosx??lnx?sinx??? y?x? （3）y????cosx??lnx?sinx????sinx?sinx?1???y?cosx?lnx? ?????xx??x???注：若一函数不能直接用法则或上述方法求得，则将其分成若干个函数分别求
然后再用法则。
例2、设y?xx?1x?1?xsinx?e,?x?0?，求y?
x2【解】：不能直接用对数求导法 （1）设y1?xx?1x?1;y2?xsinx;y3?ex2?y??y1??y2??y3?
（2）y1?xx?1x?1?lny1?lnx?12ln?x?1??12ln?x?1?
?11??? ??lny1???lnx?ln?x?1??ln?x?1??
22?? ?1y1?y1??1x?12?x?1???x?1???12?x?1???x?1??
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