??0?型，含根式，根式有理化? ?0?2xx?22?f???0??f???0?
?limx?0??1?x?1?x? 所以f?x?在x?0处可导。 2、实际应用题：1）根据已知条件建立数学模型。 2）根据要求求出所需结果。
例题：参见上课笔记 三、证明题
1、根的存在性：1）先设函数：将所证结论里的?换成x，再将方程整理使
其右边为0，左边的表达式即为辅助函数F?x?。 或直接将已知条件中要证的方程整理使其右边为0， 左边的表达式即为辅助函数F?x?。
2）写出区间?a,b?：即结论中?的取值范围，注意必须写成闭区间。 3）说明：F?x?在?a,b?上连续。（无需证明）。 4）验证：F?a??F?b??0。
5）必须说明由“零点存在定理”知。。。。。。 6）若要证根唯一：证F?x?单调性。
例1、设f(x)在[a,b]上连续且恒为正，证明：对任意x1,x2?(a,b)(x1?x2)
必存在一点??(x1,x2)，使得f(?)? 【证明】：1）f(?)? ?f?x??f(x1)f(x2) f(x1)f(x2)?移项
f(x1)f(x2)
f(x1)f(x2)??换成x,f?x??f(x1)f(x2)?0?F?x??f?x?? 2）区间取为?x1,x2?，因为f?x?在?a,b?上连续，所以F?x?也在?a,b? 上连续，而x1,x2?(a,b)(x1?x2)，所以F(x)在?x1,x2?上也连续。
3）因为f(x)在[a,b]上恒为正，所以有
11
F(x1)?f(x1)?F(x2)?f(x2)?f(x1)f(x2)?f(x1)f(x2)?f(x1)f(x1)??f(x1)?f(x2)?f(x2)， f(x1)
?f(x2)?于是F(x1)F(x2)??f(x1)?f(x2)?f(x2)?2f(x1)?f(x2)
? ??f(x)f(x)(12f(1x?)f2(x)?)
0 4）由零点定理：在(x1,x2)?(a,b)内至少存在?，
使得F(?)?f(?)?例2：证明方程3x?2?cos?x2f(x1)f(x2)?0，即f(?)?f(x1)f(x2) ?0在?0,1?有且仅有一个实根。
【证明】:1)直接设F?x??3x?2?cos?x2
2）?a,b???0,1?，?F?x?在?0,1?上连续
3）?F(0)??1?0,F(1)?1?0?F?0??F?1??0,由零点定理 F(x)在?0,1?上至少存在一个实根； 4)?F?(x)?3?sin?x?2?2?0,?F?x? 在(0,1)内单调递增，
所以F(x)在(0,1)内有且仅有一个实根。
1、罗尔定理：1）找出F?x?及区间?a,b?。
2）说明：F?x?在?a,b?上连续，在?a,b?内可导（无需证明）。
3）验证：F?a??F?b?（必须验证）。
4）必须说明由“罗尔定理”知。。。。。。
例1：设f(x)在a?0?x1?b上可导，且有f(x1)?0，证明至少存在一点x?(0,x1)内，使
f(x)?xf?(x)?0
【证明】:1)设F(x)?xf(x)，区间取为?0,x1?。
2）F(x)在[0,x1]上连续，在(0,x1)内可导。
3）F(0)?0f(0)?0,F(x1)?x1f(x1)?0，于是F(x)满足罗尔定理，所以
12
至少存在一点x?(0,x1)，使得F?(x)?0，即f(x)?xf?(x)?0。
2、拉格朗日中值定理：
若证不等式：1）找出F?x?及区间?a,b?。
2）说明：F?x?在?a,b?上连续，在?a,b?内可导（无需证明）。
3）说明由“拉格朗日中值定理”知。。。。。。 4）讨论由?范围推得不等式成立。
若证一表达式恒为常数：1）设该恒等式为F?x?，区间?a,b?即为x取值范围。 2）说明：F?x?在?a,b?上连续，在?a,b?内可导（无需证明）。 3）验证F??x??0。
4）说明由“拉格朗日中值定理推论”知F?x??C。
5）在?a,b?内任取一定值x0代入F?x?中求的C?F?x0?，
此时求出的C必为要证的等式右边的常数。
例1：设0??????2时，有
???cos?2?tan??tan?????cos?2
【证】：1）设F(x)?tanx，区间为[?,?]。
2）F(x)在[?,?]上连续，在??,??内可导
3）由拉格朗日中值定理：至少存在??(?,?)，使F?(?)?tan??tan????。
；
又F?(?)?sec2??1cos?2，于是
tan??tan?????1cos?2?1cos?24）由0????????2，于是
1cos?1cos?22?1cos?2
所以
1cos?2?tan??tan?????，由于????0，所以有
???cos?2?tan??tan?????cos?2。
13
例2、 求证：当?1?x?1时，有arctan1?x1?x?12arcsinx??4
【证明】：1）设F(x)?arctan1?x1?x?12arcsinx，?a,b????1,1?
2) F?x?在??1,1?上连续，在??1,1?内可导
3）F?(x)?1?11?x1?x121?x1?x?1(1?x)2???1211?x2??121?x2?121?x2?0
4)由拉格朗日中值定理推论知F(x)?C。任取x?0，有F(0)?1?x1?x12?4，于是有
arctan?arcsinx??4。
?2例3、设f(x)在(0,?)内具有二阶导数，满足f??(x)??f(x),f?(试证：（1）f?(x)sinx?f(x)cosx?0,x?(0,?) （2）f(x)?Csinx,x?(0,?),C为常数。 【证明】：1）设F(x)?f?(x)sinx?f(x)cosx,?a,b???0,??
2）F?x?在?0,??上连续，在?0,??内可导
)?0
3）F?(x)?f??(x)sinx?f?(x)cosx?f?(x)cosx?f(x)sinx ?(f??(x)?f(x))sinx?0
4）所以由拉格朗日定理推论，得F(x)?c。令x?即f?(x)sinx?f(x)cosx?0,x?(0,?)
5）设F(x)?f(x)sinx?F?(x)?f?(x)sinx?f(x)cosxsinx2?2,得C?0。
?0
所以由拉格朗日定理推论，得F(x)?C?f(x)?Csinx。
注：利用罗尔定理或拉格朗日定理证明时常见的辅助函数：
1?F?x??xf?x?;F?x??xf?x?; 2?F?x??ef?x?;F?x??ef?x?
kxkx 14
3?F?x??
f?x?x； 4?F?x??f?x??kx
15