?1?11??y1??????xx2x?12x?1??????x?1x?1 ???cosx?lnx? y2?xsinx?由上题知y2?22?sinx?sinx ??xx?x2 y3?e （3）y???x?由复合函数求导y3??ex?x2?12?x?1?????x2?x?1??1x?1????2xe
?1?x2sinx?sinx?x ??cosx?lnx??x?2xe?x?1?x?4、分段函数导数：1）写出f?x?在分段点处函数值。
2）利用左右导数的定义式求出分段点处的左右导数 f???x0??limf?x??f?x0?x?x0x?x0?； f???x0??limf?x??f?x0?x?x0x?x0?。
3）其他点处直接用求导公式求，最后导函数写成分段函数
形式。
?x2,x?0 例1、设f?x???，求f??0?及f??x?
?x,x?0?x,x?0? 【解】：（1）f?x???0,x?0
?x2,x?0? （2）f???x0??lim?x?x0f?x??f?x0?x?x0
?f???0??lim?x?0f?x??f?0?x?0?lim?x?0x?0x?1
f???x0??limf?x??f?x0?x?x0x?x0?
?f???0??lim?x?0f?x??f?0?x?0?lim?x?0x?0x2?0
?f???0??f???0??f??0?不存在 （3）x?0,f?x??x?f??x???x???1
6
x?0,f?x??x2?f??x???x2???2x 1,x?0?? （4）f??x???不存在，x?0
?2x,x?0?5、高阶导数：先求一阶，整理，然后逐阶求 ?u?v??n??u?n??v?n?; ?uv??n?n??k?0cnuk?n?k??v?k?
例1、设y?xlnx，求y?? 【解】：（1）y???xlnx???lnx?x? （2）y????lnx?1???例2、设y?1x?5x?621x?lnx?1
1x
n，求y?? 1?n?【解】：（1）y?1x?31x?3?x?2?y?1?1?????x?3??n??1?????x?2??2?n?
?3 （2）u???x?3??n??u????1??x?3??u?????1???2??x?3??n?1
......?u 同理v? （3）y?n????1???2?...??n??x?3??1???1??n!??x?3??n?1n?n?11x?2?n???x?2??n??v?n????1??n!??x?2??n?1n
?u2x?v???1??n!???x?3??n??x?2??n?1?
?例3、设y?x?e【解】：（1）u?e2，求y?u?20?
k2x2x?k??2?e?k?1,2,3...20?
?k? v?x?v??2x,v???2,...v?n?2?0?k?3,4,...n?
（2）y??uv?2?n?n??ck?0knu?n?k??v?k?
20?192! y?20???x?e2x??20??2e202x?x?20?2e2192x?2x??2e182x?2
?220e2x??x2?20x?95?
7
6、求微分：1）用上述步骤求出y??x?。
2）写出微分公式dy?y??x?dx，再将y??x?代入。如求dy dy??y??x????dx。
?x?0x?x0，则
x?x0x?x0 例1、设y?ln?sinx?ex?,求?1?dy,?2?dy 【解】：（1）y?lnu,u?sinx?ex
cosx?e?cosx?e （2）y???lnu????sinx?ex?? ?xusinx?ecosx?esinx?exxxx （3）dy?y?dx?dx
?cosx?ex （4）dyx?0??x?sinx?ex?0??dx?2dx ?7、微分的近似计算：1）将x化成x0??x，（?x为一很小的数），再设f?x?。
2）求出f?x?，进而求出f??x0?。
3）写出近似公式f?x??f?x0??x??f?x0??f??x0??x 进而将x0,?x代入进行计算。
4）如有现成近似计算公式，则可不必操作2），3）。 例1、求lg998 ?lge?????0.4343? ln10?1 【解】：（1）x?998?1000?2,x0?1000,?x??2,f?x??lgx （2）f??x???lgx???1xln10,f??x0??1xln10x?1000?0.0004343
（3）f?x??f?x0??x??f?x0??f??x0???x
lg998?lg1000?0.0004343???2??3?0.0008686?2.9991314
3例2、求996 【解】：（1）利用公式：x很小时，n1?x?1?xn
8
（2）3996?31000?4?10?31??1?4???10??1??????9.987 100031000????48、求切法线方程：（1）写出切点。
（2）求出y??x?，写出k切=y??x?x?x0，或k切?y??x?x?x0,y?y0
（此为隐函数形式）或k切?y??t?t?t0（此为参数方程形式）。 ??x?x0? ?k??? ??x?x0? ?k?0?。
（3）写出切法线公式：切线：y?y0?k 法线：y?y0??切1k切 若k切??，则切线：x?x0；法线：y?y0 若k切?0，则切线：y?y0；法线：x?x0 例1、求y?x2在x?1处切法线方程
【解】：（1）x?1?y?12?1，故切点坐标为?1,1? ? （2）y???x2??2x?k?y??2x?2
x?1x?1 （3）切线：y?y0?k 法线：y?y0??切??x?x0??y?1?2?x?1? ??x?x0??y?1??121k切?x?1?
23例2、求x?y?2在x?1处切法线方程
【解】：（1）x?1?y?32?1?1，故切点坐标为?1,1?
2x? （2）此为隐函数求导：?x2?y3??2??2x?3y?y??0?y???
3y?y??x?2x3yx?1,y?1 k切x?x0,y?y0????23
23 （3）切线：y?y0?k 法线：y?y0??三、应用题
切??x?x0??y?1???x?1?
1k切??x?x0??y?1?32?x?1?
9
1、分段函数在分段点处的连续性与可导性： 1）改写函数，写出其在分段点处的函数值。 2）连续性：（1）分别求出limf?x?;limf?x?。
x?x0?x?x0? （2）验证limf?x??f?x0?;limf?x??f?x0?是否同时成立。
x?x0?x?x0? （3）若成立则函数在分段点处连续，有一式不成立就间断。 3）可导性：（1）求出f???x0??limf?x??f?x0?x?x0x?x0?;f???x0??lim?x?x0f?x??f?x0?x?x0。
（2）验证f???x0??f???x0?成立否？成立可导，不成立则不可导。
?ln?1?x??例1、设函数f?x?????1?x?1?x?1?x?00?x?1，讨论其在x?0处的连续性与
可导性
?ln?1?x??【解】：（1）f?x???0??1?x?1?xx?0?1?x?000?x?1x?0
（2）连续性：1）lim?f?x??lim?ln?1?x??ln1?0?f?0? limf?x??limx?0?x?0??1?x?1?x?0?f?0?
? ?lim?f?x??lim?f?x??f?0?
x?0x?0 所以f?x?在x?0处连续。 （3）可导性：1）?f???x0??limf?x??f?x0?x?x0x?x0?
?f???0??lim?x?0f?x??f?0?x?0?lim?x?0ln?1?x?x
?x?型，利用等价无穷小??lim??1 ?0?x?0x?0 ?f???x0??limf?x??f?x0?x?x0x?x0?
?f???0??limx?0f?x??f?0?x?0??lim?x?01?x?1?xx 10