令x+=kπ(k∈Z),得x=2kπ-(k∈Z),故f(x)图象的对称中心为(k∈Z),当k=0时, f(x)图
象的对称中心为7.答案 2或-2
,故选A.
解析 ∵f=f,
∴直线x=是函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象的一条对称轴,
∴f=±2.
8.答案
解析 由题意得函数f(x)的周期T=2×=π,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),将点代入上
式得sin=1,结合|φ|<,可得φ=,所以f(x)=sin,于是f=sin=cos =.
9.解析 由f(x)的最小正周期为π,得T==π,∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ). (1)当f(x)为偶函数时, f(x)=f(-x), 即sin(2x+φ)=sin(-2x+φ), 展开整理得sin 2xcos φ=0, 由已知可知,?x∈R上式都成立,
∴cos φ=0.∵0<φ<,∴φ=.
(2)∵f(x)的图象过点,
∴sin=,
即sin
=.
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又∵0<φ<,∴<+φ<π,
∴+φ=,φ=,∴f(x)=sin.
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为
,k∈Z.
10.解析 (1)f(x)=sin2
ωx-cos2
ωx+2sin ωx·cos ωx+λ=-cos 2ωx+
sin 2ωx+λ
=2sin+λ.
由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,
可得sin=±1,
所以2ωπ-=kπ+(k∈Z),即ω=+(k∈Z).
又ω∈,所以k=1,ω=.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y=f(x)的图象过点,得f=0,
即λ=-2sin
=-2sin=-,
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即λ=-.
故f(x)=2sin-, ,2-].
B组 提升题组
函数f(x)的值域为[-2-
11.A 由题意得=,T=π,则ω=2.又由题意得2x0+=kπ(k∈Z),则x0=-(k∈Z),而x0∈,所以
x0=.
12.C 令2kπ+≤2x+φ≤2kπ+,k∈Z,得kπ+-≤x≤kπ+-,k∈Z,又是f(x)的一个单调递
增区间,所以≤kπ+-,且≥kπ+-,k∈Z,解得+2kπ≤φ≤+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,所以
≤φ≤.
13.A ∵ω>0,∴T==π,∴ω=2.又A>0,
∴f=-A,即sin=-1,得φ+=2kπ+,k∈Z,即φ=2kπ+,k∈Z,
又∵φ>0,∴可取f(x)=Asin,
∴f(2)=Asin, f(-2)=Asin, f(0)=Asin.∵π<4+<,∴f(2)<0.∵-<-4+<-π,且
y=sin x在上为减函数,
∴sin f(2) 8 解析 ∵对任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立, ∴f(x1), f(x2)分别为函数f(x)的最小值和最大值, ∴|x1-x2|的最小值为T=×=2. 15.答案 π 解析 由x∈,可知≤3x+≤3m+, ∵f=cos=-,且f=cos π=-1,∴要使f(x)的值域是,需要π≤3m+≤,即≤m≤, 则m的最大值是. 16.解析 f(x)=a(1+cos x+sin x)+b =asin+a+b. (1)当a=-1时, f(x)=-sin+b-1,由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z), 得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z), ∴f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (2)∵0≤x≤π,∴≤x+≤, ∴-≤sin≤1,依题意知a≠0. ①当a>0时,∴a=3-3,b=5. ②当a<0时,综上所述,a=3 ∴a=3-3 -3,b=5或a=3-3 ,b=8. ,b=8. 9