图2 车流量平面示意图
假设道路上有两个交通流密度不同的相邻区域上图所示,用垂直线将这两种密度分割,S为波阵面,波阵面S前车流密度k1，速度为u1,波阵面后车流密度k2，速度为u2。以波阵面S为界,原车流以u1的速度流向波阵面,而以u2的速度流出波阵面,由密度差形成的交通波速度uw沿行车道稳定向右传播。根据流量守恒定律,在波稳定传播的条件下,时间t内右侧流入波阵面的车辆数应等于从左侧流出车辆，得
ku?ku k1(uw?u1)t?k2(uw?u1)t ，即：uw?1122
k1?k2由于流量q?uk，令波阵面前后的车流量分别为q1和q2，则有
q?q uw?12 (3)
k1?k2为车流密度与速度模型方程。
该模型描述了两种不同交通状态的转化过程，uw代表了转化方向和进程，当uw?0表明交通波运动方向与交通流的运动方向相同；当uw?0表明交通波维持uw在原地不动；当uw?0表明交通波的传播方向与交通流运动方向相反。
交通波理论是一种宏观模型，宏观模型将车流视为可压缩的连续介质，关注于车辆的集体行为，能够利用少数几个参量描述交通流行为，方程形式简单，能够方便的处理有大量车辆组成的车流问题。
但对于交通流而言，连续介质的假设存在不合理性，因为交通流并不像通常流体那样固定，变化可能性很大。为弥补这一缺陷，使模型与实际路网交通流特性更加贴近吻合，提高交通状态分析精度，本文将基于交通波理论模型结合微观和宏观两方面建立元胞传输原理建立CTM路段模型[5]。 4.3.2基于元胞传输原理建立CTM路段模型
元胞传输模型(简称CTM)[6]是Daganzo提出的用于模拟高速公路交通流的模型，后来被推广用于研究网络动态交通问题元胞传输模型，是与流体力学模型相一致的模型，与宏观动力学模型LWR模型的离散化近似，但它可以捕捉到网络交通流连续变化现象，而LWR模型却不能。此 外，它能够清晰地描述排队的物理效应，可以较好地模拟出交通波、排队形成、排队消散以及多路段间的相互影响等交通动力学特性。元胞传输模型由路段模型和节点模型构成，本文主要研究路段模型。原始CTM把车流看成可压缩流体，在交通流传播模拟过程中需要记录车流路径、车流数量及其进入路段的时间，这样容易导致车流分支过细，存在冗余部分，影响计算机存储及运算效率[7]当网络规模比较大时，这一缺点尤为突出，为克服这一缺陷把车流进行离散化处理，以单个车辆为单位，在模拟过程中记录每个车辆的行走路径及其进入各路段的时间。
根据4.3.1中LWE理论可得交通流满足连续性方程：
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??q?k?0?? ??x?t (4)
??q?kue(k)ue(k)其中，k为车流量密度，x为空间位置，t为空间时间，q为车道通行车流量，
为平衡条件下速度与交通流密度的关系。
公式(4)的前一项为守恒方程，描述没有出入匝道路段上交通流守恒规律。在此借鉴Daganzo[8]对路段交通流量q与密度k关系的假设，Daganzo提出的元胞传输模型是以道路匀质流为基础而建立的，该曲线由三部分组成，自由流阶段、最大流量阶段、拥堵阶段分别和对应的密度区间分别为(0,?A)、(?A,?B)和(?B,?jam)，表达式可写为
q?min?ufk,mqax,wu(jka?m车流的最大交通流量，kjam为阻塞密度。
事故区受阻车流的反向传播速度uw为：
N?k??L? ? (7)
qq?uw?2?1k2?k1???k)?,0?k jk a m (5)
其中，uf为自由流速度，uw为事故区受阻车流的反向传播速度，qmax为事故区受阻
其中，N为车流量，L为观测车流量排队长度。
CTM从事故点开始将路段化分成多个等距的小段(元胞)，并将时间离散化。元胞长度取在一个时间步长占内以自由车流行走的距离。
在t时段内,从元胞i?1流入元胞i的车辆数Q为：
t)?m?inv?i Qi(t)?qi(?fre?e1k,maix,q?(t)u,w?k(jamk? i( t ) ) (7) ?根据UWR原理中式(3)的流量守恒关系，可以得到离散后的流量守恒方程：
?Q(t?)?1iQ (t) (8) ni(t?1)?n i(t)i4.3.3排队长度与车流密度的关系
车流波动模型是建立排队长度与车流密度的函数关系。
排队长度：集结波与消散波相遇的时间即为车流消散的时间T，x?uw?T 车流密度：事发路段上游车辆密度和瓶颈处车流密度与横断面实际通行能力、路段上游车流量有关。
则可以通过车流波动模型建立排队长度与横断面实际通行能力、路段上游车流量和车流消散的时间T的关系。
设两波相遇的时间为T，则根据两波相遇时波传动的距离相等这一关系可知： 其中，
uw1?T?u?w(T?T0) (9)
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uw1?则：
k1?kC1Q1?C1?vf(1?)k1?kC1kju?w?，
kC?kC2C1?C2?vf(1?1)kC1?kC2kj
T?k1?kC1?kC2k1?kC2?T0 (10)
在车队消散之前该路段上游需求流量发生了变化，需求变为Q2，相应的密度变
为k2。所以（10）式改写为： 其中,
uw2k2?kC1Q2?C1??vf(1?)k2?kC1kjuw1?T1?uw2?(T?T1)?u?w(T?T0) (11)
则
T?
(kj?kC1?kC2)?T0?(k2?k1)?T1k2?kC2kC1?kC2kj 根据公式(13)：
(12)
x?w??(T?T0)?vf(1?)?(T?T0) (13)
可解出本次事故引起的排队长。
4.3.4车道通行能力与车流密度的关系
第三问主体将车流密度做为联系各个变量参数的中间变量，在此仅需找到车流密度与实际通行能力之间的关系，考虑到车流密度的单位为pcu/km实际通行能力的单位为pcu/h，若对其无量纲化，需引入速度变量，据此可得出车道通行能力与车流密度、车流速度存在一定关系，主要为
C?a?v (14) 其中C为实际通行能力；?为车流密度；v为车流速度；a为调整系数，为常数。 4.3.5排队长度函数的构建
根据4.3.1至4.3.4的分析，分别找出了车流速度、集中波速度、排队长度、实际通行能力与车流密度的关系，车流密度是联系各个参数的中间变量，可利用车流密度找出各个量的关系，而时间可认为是连续的便可得到排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系，根据公式(3)、(4)、(10)、(13)、(14)可得
x?vf1-QL2?CL1T (15)
kjamL1L2vf为自由车速，在本文3.25m车道中为30km/h，L1指事故点到上游交叉口的距离，
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视频1中为240m；L2指瓶颈处的长度，即在事故处车身长度，本文取4m，Q为事故车道上游车流量，C为实际通行能力，kjam为阻塞密度，规定为111.1pcu/km，T为交通疏散时间，即事故持续时间。
将已知值代入(15)得： x?30?1?4Q?240CT (16)
1065604.3.6模型检验
以函数16为检验对象，从附件1中统计事故车道上游车流量，为实际通行能力，事故持续时间计算出排队长度，并与实际排队长度相比较进行检验分析。以5组数据为例进行检验，如表6。
表6 理论值与实际值的比较 组别 1 2 3 4 5 实际通行能事故持续时上游车流量 力 间/s 1220 1206 1280 1360 1180 1184 1132 1054 1148 1068 50 60 70 80 90 理论排队长实际排队长度xi/m 92.86 78.64 46.35 95.49 76.15 度xi'/m 100 75 50 90 80 将理论排队长度和实际排队长度进行比较，求相对误差I。
I??i?1nxi?xi'n
i?xi?1计算得，I?4.4问题四
23.77?0.061?0.1故所得函数合理。
389.49问题四中限定了事故发生地点即说明事故横断面处的实际通行能力固定，有第一问可得，为1132.69pcu/h，路段车流量已知，为1500pcu/h，所用时间可无限，即
Q?1500pcu/h，C?1132.69pcu/h，x?0.14km，代入(15)并计算。
得，T?0.085h?5.1min。
五、模型的评价
5.1模型优点
本文通过对附件视频的车流量统计为入手，给出判定车流量是否饱和的判定系数，可直接得出所统计车流量即为最大通行能力车流量，简化了模型；利用损失交通量算法，可简单有效的得出在不同车道被占时，实际通行能力的影响因素，并得出了
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具体结果，逻辑严谨。
在第三问模型中，由于变量较多且数据难以统计，虽然集中国内外前沿方法，以车流量密度为中间变量，找出各个参数之间的关系，方法独特，误差较小。 5.2模型推广
车道损失模型简单有效，可作为基础模型进行推广使用，可利用该模型，利用传感器检测技术，制作测量车流量及判定车道通行能力的仪器；第三问建模求取函数关系时，以车流量密度为中间变量，方法独特，可将此方法进行推广。
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