y219.解：(1)C：x?2?1的右顶点A坐标为(1,0)
m2设MA直线方程为y?k1(x?1)，代入m2x2?y2?m2?0中，则m2x2?k12(x?1)2?m2?0，整理得(m2?k12)x2?2k12x?(k12?m2)?0)
k12?m22由韦达定理可知xm?xA?2，而，又 x?1kk??mA122k1?mk1?k2?2k1k2k12?m2k12?k1k2k1?k2∴xm?2 于是 y?k(x?1)?k(?1)???m1m122k?kk?kk1?mk1?k1k2k1?k21212由同理可知yn??2k1k2，于是有ym?yn∴MN∥x抽，从而MN直线率kmn?0……（6分）
k1?k2000（2）∵?MAN?60，说明AM到AN的角为60或AN到AM的角为60。 则
k2?k1k?k?3或12?3，又k1k2??(2?3)，k1?k2
1?k1k21?k1k2????k1?1?k?2?3?k2?k1??3?3从而? 则求得? 或?1 ????k2??1?k2??(2?3)?k1k2??(2?3)因此MA，NA的直线的方程为y?x?1,y??(2?3)(x?1)
或为y?(2?3)(x?1)，y??(x?1)…………………………（12分）
(tn?1?1)an(t2?1)a11220．（1）解：由原递推式得到an?1?a2??(t?1) nan?t?1a1?t?121(t3?1)?(t2?1)3tn?1(t?1)a2t?12 猜想得到an?…………（3分） a3???32na2?t2?1)3(t?1)23tn?1下面用数学归纳法证明an? 10当n=1时 a1=t—1 满足条件
ntk?1tk?1ktk?1k?1k?1tk?1?1?t?1)?(t?1) ∴ak?1??2假设当n=k时，ak?则ak?1(
kkkkk0
tk?1?1∴ak?1?, 即当n=k+1时，原命题也成立。
k?1tn?1由1、2知an?…………………………………………………………（7分）
n0
0
tn?1?1tn?11n?1n?(2)an?1?an???n(t?1)?(n?1)(t?1)???n?1nn(n?1)?1t?1nnnn?1n?2??? nt(t?1)?(t?1)?nt?(t?t????t?1)?????n(n?1)n(n?1)而ntn?(tn?1?tn?2????t?1)?(tn?tn?1)?(tn?tn?2)????(tn?t)?(tn?1)
?tn?1(t?1)?tn?2(t2?1)?tn?3(t3?1)????t(tn?1?1)?(tn?1)
??0,t?1 故t>0，且t?1时有an?1?an?0，即an?1?an……………（13分） ????0,0?t?1ax2e21．（1）证明：(Ⅰ)在x?0时，要使e?x?1?成立。
2xx只需证：e?xa2xax?1xe?x?1即需证：1?x2?x ① 22ea2x?11?ex?(x?1)ex?x令y(x)?x?x，求导数y?(x)?ax? ?ax?x2x2e(e)e∴y?(x)?x(a?1)，又a?1，求x?0，故y?(x)?0 e2∴y(x)为增函数，故y(x)?y(0)?1，从而①式得证
x2xe成立。 （Ⅱ）在x?0时，要使e?x?1?a2xax2?xax2?2xe?x?1，即需证：1?e?(x?1)e?x ②只需证：e? 22xax2?2xex?a(x?1)?e?(x?1)e?x，求导数得m?(x)??xe?2x?令m(x)??? 2而?(x)?e?a(x?1)在x?0时为增函数 ,故?(x)??(0)?1?a?0，从而m(x)?0 ∴m(x)在x?0时为减函数，则m(x)?m(0)?1，从而②式得证
xax2xe在a?1时，恒成立…………（6分） 由于①②讨论可知，原不等式e?x?1?2222x0ax0xx0e变形为?x00?1?0 ③（2）解：将e?x0?1?a? 22ex0ax2x?1?x?1的最小值， 要找一个X0>0，使③式成立，只需找到函数t(x)?2e满足t(x)min?0即可，对t(x)求导数t?(x)?x(a?令t?(x)?0得e?x1) ex1，则x= -lna，取X0= -lna a在0< x < -lna时，t?(x)?0，在x > -lna时，t?(x)?0
t(x)在x=-lna时，取得最小值t(x0)?下面只需证明：又令p(a)?则p?(a)?a(lna)2?a(?lna?1)?1 2a(lna)2?alna?a?1)?0，在0?a?1时成立即可 2a(lna)2?alna?a?1，对p(a)关于a求导数 21(lna)2?0，从而p(a)为增函数 2a2则p(a)?p(1)?0，从而(lna)?alna?a?1?0得证
2于是t(x)的最小值t(?lna)?0
因此可找到一个常数x0??lna(0?a?1)，使得③式成立 ……………………（14分）