计算的均值。设一组数据为x1，x2，x3，…xn。则简单算术平均数的计算公式如下：
（1）计算公式：
（2）适用范围：末分组资料。
3、加权算术平均数：根据分组整理的数据计算的算术平均数 （1）计算公式： （2）
注意点
简单算术平均数：x??xn加权算术平均数：x??xf?f?fx1f1?x2f2???xkfkf1?f2???fkf)??(x??（3）适用范围：分组资料中已知分母加总资料。 （4）注意问题——权数及权数的作用
---算术平均数的大小，不仅取决于研究对象的变量值(x)，而且受各变量值重复出现的频数（f）或频率（f／∑f）大小的影响，频数或频率较大，该组数据的大小对算术平均数的影响就大，反之则小。 4、算术平均数的数学性质
(1)各变量值与其算术平均数的离差之和等于零. (2)各变量值与其算术平均数的离差平方和最小.
(3)两个独立的同性质变量代数和的平均数等于各变量平均数的代数和. (4)两个独立的同性质变量乘积的平均数等于各变量平均数的乘积. 5、算术平均数的优缺点: 优点： a.)可推算总体标志总量;
b.)便于代数运算;
c.)抽样中具有良好稳定性。
缺点：a.)受极端值的影响大;
b.)组距数列中有较大假设性。
（二）调和平均数
1．问题的提出
21
例：市场上苹果的价格有三种：3元/斤；2.4元/斤;1.2元/斤，现有两种可供选择的方案：甲各买30元或乙各买15斤，问选择何方案为优？
2．调和平均数的概念
（1） 概念：标志值倒数的算术平均数的倒数。调和平均数是变量值倒数的算术平均数的倒数。又称倒数平均数。调和平均通常是作为算术平均数的变形来使用的。但一些特殊的领域，如综合评价，调和平均却是一种独立的统计平均数，有着特定的应用价值。
（2） 特点： a ) 常作为算术平均数的变形 b) 标志值中有数法计算。
（3）简单调和平均数
适用范围：末分组资料。 （4）加权调和平均数
简单调和平均数：H?n1?x据为零时无
加权调和平均数：H??MM?x实质：加权算术平均数的变形。调和平均数易受极端值的影响，且受极小值的影响比受极大值的影响更大。只要有一个变量值为零，就不能计算调和平均数。当组距数列有开口组时，其组中值即使按相邻组距计算了，假定性也很大，这时，调和平均数的代表性就很不可靠。调和平均数应用的范围较小。
适用范围：分组资料已知基本公式分子加总资料。 （三）由相对数或平均数计算平均数 基本步骤：1.)写出基本公式; 2.)确定计算公式;
3.)具体计算。
（四）几和平均数
几何平均数也称几何均值，它是n个变量值乘积的n次方根。
适用对象：现象的总比率是若干项变量的乘积，或现象的总发展速度是各时期发展速度的连乘积时，计算平均比率或平均发展速度。
1、简单几和平均数：直接将n项变量连乘，对其连乘积开n次方根所得的平均数即为简单几何平均数。
22
简单几何平均数：G?nx1?x2???xn?n适用范围：资料末分组，变量值互相影响。
?x2、加权几和平均数：与算术平均数一样，当资料中的某些变量值重复出现时，相应地，简单几何平均数就变成了加权几何平均数。
加权几何平均数：G?f1?f2???fnx1f1?x2f2???xnfn??f?xf适用范围：分组资料，变量值互相影响。 几何平均数特点：
（1）受极端值的影响较算术平均数小。
（2）如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或虚数。 （3）仅适用于具有等比或近似等比关系的数据。 （4）其对数是各变量值对数的算术平均数 （五）算术平均数、调和平均数、几和平均数的数学关系
x1,x2,x3,...,xnw1,w2,w3,...,wn?np???xiwi? i?1?M(p)??n?wi?????i?1?可以证明：M(p)为p的增函数。1/p同一资料计算结果：x≥G≥H 三、位置平均数
位置平均数，就是根据总体中处于特殊位置上的个别单位或部分单位的标志值来确定的代表值，它对于整个总体来说，具有非常直观的代表性，因此，常用来反映分布的集中趋势。常用的众数、中位数。 （一）中位数
1、中位数的概念：总体单位按某一标志值排队后中间位置的标志值。中位数是将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据就是中位数。
2、中位数的计算
23
确定中位数，必须将总体各单位的标志值按大小顺序排列，最好是编制出变量数列。这里有两种情况： （1）末分组资料中位数的计算
基本步骤：1)将总体单位按某一标志进行排队 ； 2)确定中数的位置：(n+1)/2
3)中间位置上的那个标志值即为中位数。
ì???xn+1??2??
Me=?í??xn+xn??+1?22???2?（n为奇数）
（n为偶数）（2）分组资料中位数的计算
基本步骤：1.)计算累计频数(向上累计频数或向下累计频数); 2.)确定中位数的位置：∑f/2
3.) 单项数列：该组的标志值即为中位数 ;
组距数列，根据上下限公式计算中位数。
?f中位数：Me?L?2?Sm?1fm?d?fMe?U?2?Sm?1fm?d（3）中位数的特点：中位数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值，不受分布数列的极大或极小值影响，从而在一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性。有些离散型变量的单项式数列，当次数分布偏态时，中位数的代表性会受到影响。3）缺乏敏感性。 （二）分位数
1、概念
将变量的数值按大小顺序排列并等分为若干部分后，处于等分点位置的数值。常用的分位数有四分位数、十分位数和百分位数。
QL，QM和QU分别表示第一个、第二个和第三个四分位数，则他们的位置
24
分别为：
n?12(n?1)3(n?1)，和，根据位置即可确定各个四分位数。 444（三）众数
1、众数的概念：众数是指总体中出现次数最多的那个标志值。用Mo表示。它主要用于定类（品质标志）数据的集中趋势，当然也适用于作为定序（品质标志）数据以及定距和定比（数量标志）数据集中趋势的测度值。众数也不受数列中极端变量值的影响，它可反映总体各单位某一标志值的集中趋势。
2、末分组资料众数的计算：直接根据众数概念(单项数列同)。 3、分组资料众数的计算：
a.)确定众数组;
b.)根据上下限公式计算众数的具体数值。
L?众数：M0?
M0?U??1?d?1??2?2?d?1??24．众数的特点
众数不受分布数列的极大或极小值的影响；当分组数列没有任何一组的次数占多数，而是近似于均匀分布时，则该次数分配数列无众数。若将无众数的分布数列重新分组或各组频数依序合并，又会使分配数列再现出明显的集中趋势。如果与众数组相比邻的上下两组的次数相等，则众数组的组中值就是众数值；如果与众数组比邻的上一组的次数较多，而下一组的次数较少，则众数在众数组内会偏向该组下限；如果与众数组比邻的上一组的次数较少，而下一组的次数较多，则众数在众数组内会偏向该组上限。缺乏敏感性。这是由于众数的计算只利用了众数组的数据信息，不象数值平均数那样利用了全部数据信息。 （四）中位数、众数、算术平均数的关系 在对称分布（即正态）时：x=Me=Mo 在右偏时 ：Mo＃Me在左偏时 ：x＃Mex Mo
适度偏态时 ：Mo-x=3(Me-x)
25