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……………………3分
（Ⅱ）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到成绩为y，用数对?x,y?表示基本事件：
?82,95?,?82,75?,?82,80?,?82,90?,?82,85?,?82,95?,?82,75?,?82,80?,?82,90?,?82,85?,?79,95?,?79,75?,?79,80?,?79,90?,?79,85?, ?95,95?,?95,75?,?95,80?,?95,90?,?95,85?,?87,95?,?87,75?,?87,80?,?87,90?,?87,85?,基本事件总数n?25 ……………………5分 记“甲的成绩比乙高”为事件A,事件A包含的基本事件：
?82,75?,?82,80?,?82,75?,?82,80?,?79,75?,?95,75?,
?95,80?,?95,90?,?95,85?,?87,75?,?87,80?,?87,85?,事件A包含的基本事件数m?12 ……………………7分 所以P?A???m12? ……………………8分 n25(Ⅲ)派甲参赛比较合适，理由如下：
?85， x甲?（70?1?80?3?90?1?9?2?2?7?5）15?1x乙?(70?1?80?2?90?2?5?0?5?0?5)?85 ………………10分
512S甲?[(79?85)2?(82?85)2?(82?85)2?(87?85)2?(95?85)2]?31.6512S乙?[(75?85)2?(80?85)2?(80?85)2?(90?85)2?(95?85)2]?50 ……12分
5?22?x乙,s甲?s乙， ?甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适。………13分 ?
?x甲注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回
答，同样给分，如派乙参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上（含85分）的概率P1?合适。
18、 解：由三视图可知该几何体为正三棱柱，底面是高为3的正三角形，三棱柱的高
23，乙获得85分以上（含85分）的概率P2??P2?P1，?派乙参赛比较55h?3， ??2分
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（Ⅰ）底面是高为3的正三角形，易知底面边长为2，所以底面面积s?所求体积V?sh?33. ??????4分
（Ⅱ）连接A1B，且A1B?AB1?O，?正三棱柱侧面是矩形， ∴点O是棱A1B的中点 ??6分
因为D为棱A1C1的中点.连接DO，?DO是?A1BC1的中位线，
1?2?3?3， 2C1 D A1 B1
O C ?BC1//DO,又DO?平面AB1D，BC1?平面AB1D，
A B
?BC1//平面AB1D.?????9分
(Ⅲ) 在正三棱柱ABC?A1B1C1中，三角形A1B1C1为正三角形，?B1D?A1C1.， 又由正三棱柱性质知平面A1B1C1?平面ACC1A1,且平面A1BC11?平面ACC1A1?AC11,
B1D?平面A1B1C1，?B1D?平面AA1D, ????12分 又B1D?平面AB1D,?平面AB1D?平面AA1D. ???????14分
19、（I）圆C：x2?y2?2x?4y?20?0 可变为：?x?1???y?2??52???1分
22由此可知圆C的圆心O?坐标为?1,2?，半径为5.???3分 （Ⅱ）由直线l:?2m?1?x??m?1?y?7m?4?0 可得?2x?y?7?m??x?y?4??0???4分 对于任意实数m，要使上式成立，必须??2x?y?7?0,???5分
?x?y?4?0.?x?3,解得：????6分
y?1.?所以直线l过定点A?3,1?.???7分
(Ⅲ)当圆心?1,2?在直线l上，圆C截得的弦为直径，此时弦最长；???8分 当圆心O??1,2?与定点A?3,1?.的连线与l垂直时，直线l被圆C截得的弦BC为最短。???9
分
?1??2m?1???????1,???10分 ?2??m?1?3解得m??.???11分
4连结O?C，在直角三角形O?AC中，???12分 AC2?25?O?A2 ?25?5?20.
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AC?25,???13分 BC?45.???14分
20、（I）
mx?f?x??2,x?nm?x2?n??mx?2xmn?mx2?f??x???2222?x?n??x?n?又f?x?在x?1处取得极值2
???2分
?m(n?1)?02??f1?0????m?4?m?0??(1?n)?? 即? 解得?或?(舍去）n?1n??1f1?2????m?2,???
??1?n4x?f?x??2x?1 ??????4分 （Ⅱ）由（I）得f??x??4?4x2?x2?1???2
假设存在满足条件的点A,且A?x0,24x0?4，则??????6分 k??OA22x0?1?x0?1?x?4?4?0?216?4?x0?2??x0??f?????222?2???x?2?x?4?0?0????1?????2??依题意得kOA16?4?x0?4?x0?42???????8分 ?f??,即2?,?5x0?4x0222x?1??0?x0?4?2422?x0?0,?x0?,x0??555所以存在满足条件的点A，此时点A是坐标为??2585??2585?，?，-或??9分 ????5???9??59??(Ⅲ)f??x???4?x?1??x?1??x2?1?2 ，令f??x??0，得x??1或x?1
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当x变化时，f??x?，f?x?的变化情况如下表：
x f??x? f?x? ???，-1? - 单调递减 ?1 0 极小值 ，??11? + 单调递增 1 0 极大值 ??? ?1，- 单调递减 ?f?x?在x??1处取得极小值f??1???2 ，在x?1处取得极大值f?1??2
又?x?0时，f?x??0，?f?x?的最小值为-2?????????11分
?对于任意的x1?R，总存在x2???1,1?，使得g?x2??f?x1? ?当x???1,1?时，g?x?最小值不大于-2
22又g?x??x?2ax?a??x?a??a?a
2当 a??1时，g?x?的最小值为g??1??1?3a，由1?3a??2
得a??1???????????????12分
当a?1时，g?x?最小值为g?1??1?a，由1?a??2，得a?3 当?1?a?1时，g?x?的最小值为g?a??a?a
22由a?a??2，得a??1或a?2，又?1?a?1，
所以此时a不存在。????????????13分
综上，a的取值范围是???，?1???3，????????????14分 (Ⅲ)解法二：解法过程同上可求出f(x)的最小值为-2
?对于任意的x1?R，总存在x2???1,1?，使得g?x2??f?x1?
，?当x???1,1?时，g?x???2有解 ，即x2?2ax?a?2?0在??11?有解
设h?x??x?2ax?a?2
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????2a??4?a?2??4?a2?a?2??4?a?2??a?1?2由??0,得-1?a?2;由??0,得a?2或a??1a?2时，由x2?2ax?a?2?0，解得x?2a??1，由x2?2ax?a?2?0，解得x??1???0,?由?h??1??0,知a不存在?a??1????0,?由?h?1??0,解得2?a?3?a?1?综上，当?1?a?3时，x2?2ax?a?2?0在??11，上无解?所以当a??1或a?3时，x?2ax?a?2?0在??11 ，上有解?2
(Ⅲ)解法三：解法过程同上可求出f(x)的最小值为-2
?对于任意的x1?R，总存在x2???1,1?，使得g?x2??f?x1? ?当x???1,1?时，g?x???2有解
9?2t?t2令2x?1?t,则at?,t??3,1?41?9?当t???3,0?时,a???2?t?4?t?9??9????2?t?2????t????????4,当且仅当t??3时，等号成立t?t????a??19当t?0时，?0?不成立，?a不存在41?99?当t??0，时，1?a???2?t?,设h?x???2?t,t??0，1?4?tt?9?t??0，1?,h??x??1?2?0t?h?t?在?0，为减函数1?h?t??h?1??12，从而a?3综上，a的取值范围是???，?1???3，???.
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