黄金分割及应用
李新英
摘 要：黄金分割比在未发现之前，在客观世界中就存在的，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识。当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星??许多动物、昆虫的身体结构中，特别是人体中更是有着丰富的黄金比的关系。当人们认识了这一自然法则之后，就被广泛地应用于人类的生活之中。此后，在我们的生活环境中，就随处可见了，如建处门窗、橱柜、书桌；我们常接触的书本、报纸、杂志；现代的电影银幕。电视屏幕，以及许多家用器物都是近似这个数比关系构成的。它特别表现艺术中，在美术史上曾经把它作为经典法则来应用，许多艺术家自觉地被黄金分割的魅力所诱惑，从而使数学与艺术创作紧密的结合起来，创造了不少不朽的名著。
关键词：黄金分割；艺术创作；斐波那契数列
1.引言
大千世界的万事万物都有其独特的结构形式，因而关于形体的结构比例也是多种多样的。人们最常见的一种和谐比例关系，就是毕达哥拉斯学派提出的“黄金分割”，又称“黄金段”或“黄金律”。黄金分割指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值是5^/2-1/2或二分之根号五减一，取其前三位数字的近似值是0.618。0.618被公认为最具审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现： 1/0.618=1.618
(1-0.618)/0.618=0.618
[1]
这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。
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其无穷魅力再许多伟大的作品中都有体现。 2. 神奇美妙的黄金分割 2.1黄金分割的起源与数学证明
公元前4世纪，古希腊著名的数学家、天文学家欧多克斯，他曾研究过大量的比例问题，提出“中外比”。虽然最先系统研究黄金分割的是欧多克斯，但是，现在人一般认为，黄金分割是由公元前6世纪的毕达哥拉斯发现的。用C点分割木棒AB，整段AB与长段CB之比，等于长段CB与短段AC之比。
毕达哥拉斯还发现，把较短的一段放在较长的一段上面，也产生同样的比例，这一规律可以重复下去。
经计算得出结沦：长段a（CB）与短段b（AB）之比为1:0.618，其比值为0.618。可用下面的等式表达
a ：b= ( a +b) ：a
即长段长度的平方又恰等于整个木棒与短段长度的乘积，即
a2= (a+b) b
在《几何原本》一书中，欧几里得将黄金分割做了系统的论述，这一神奇的比例关系，后来被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”，简称“黄金律”、“黄金比”。19世纪威尼斯数学家帕乔里将黄金分割律誉为“神赐的比例”。文艺复兴时期，许多艺术大师把黄金分割与人们的审美联系在一起。黄金分割更被广泛的应用于艺术创作之中。
黄金分割是古希腊人的重大发现，表现为数学命题：已知一线段，试把它分成两部分，使长的一段为短的一段和原线段的比例中项。
例：设原线段常为a，分成长为一段长为x，那么短的一段长为a-x。如图
则 x2?a?a?x?
1
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解此方程得x?5?1a?0.618a 2
于是得黄金分割的精确作图
以上是分割点在原线段上的情况。如果分割点在已知线段的延长线上，
a2??x?a?,x2?ax?a2?0 于是得相应的作图
黄金分割在几何学上，成为分已知线段为“中外比”。广义上说
5?1?0.618,25?1?1.618均是黄金分割数或者黄金分割。 22.2黄金分割与裴波那数列
裴波纳奇数与黄金分割有何关系？数列存在这样的递推关系：F1?F2?1，
Fn?2?Fn?Fn?1,n?N*。前几项为1,1,2,3,5,8,13,21,??则数列?Fn?叫做斐波那契数列，简称F-数列。它是13 世纪意大利数学家Fibonacci 在研究小兔问题时提出的。 裴波纳奇数数列的递推关系式：
2
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a1?a2?1? ???a?a?aa?3,n和a是自然数nn?1?n?2
看下列比值：
112?1??1? ?0.5??2? ?0.667??3? 123358?0.6??4? ?0.625??5? ?0.6184??6? 5813132134?0.619??7? ?0.6176??8? ?0.6182??9? 213455
显然这些数越来越接近0.618.这表明裴波纳奇数列中任意相邻两项（前项比后项）都可用来近似地表示0.618.随着项数的增加，这些比值与0.618的误差越来越小。数学严格论证如下：
??1?5?n?1?5?n?[2]
????? ，则 因为裴波纳奇数列的通项an????????2??2?????nn1??1?5??1?5????????????5??2??2?????n?1n?1?1?5??1??1?5???????????2?5??2??????nlimn??an?an?1limn???limn???1?5????2?1???n?11?5?1?5????2?2???1?5????2??1??n?1?limn??5?15?1?1?5???????22?1?5??1?5??1???1?5???n?1n?1?5????2???nn?1?limn???1?5????1?5??0,limn?????1?5????1?5???n?1?0
?limn??an5?1??0.618an?123
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Fn??. 这使得黄金分割另外，F-数列在分析方面有一个非常优美的结果:limn??Fn?1?4?与F-数列的联系更加紧密。因此，它们在应用上也有很多共同之处，斐波那契数列和黄金分割法相似，他们的区别在于斐波那契数列每次的缩短率不是常数，而是由斐波那契数列决定的。 3 黄金分割法的应用
1953 年，美国的弗基提出0.618 法获得大量应用, 特别是工程设计方面.20 世纪70 年代初，我国著名数学家华罗庚在应用优选法方面做出了杰出贡献，使得黄金分割法在我国得以推广，并取得了很大的成就，以下给出黄金分割法在生产生活及计算数学中的应用实例?4?。
3.1 黄金分割法的基本思想及优选法
黄金分割法, 也叫0.618 法，是黄金分割在优选法上应用的一种方法,是优化计算中的经典算法，以算法简单、效果显著而著称，是许多优化算法的基础，它适用于一维区间?a,b?的单峰函数，其基本思想是：依照“去坏留好”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索范围。具体地说：
设f是定义在区间?a,b?的下单峰函数，有唯一的极小点x*间（即最优点）。在区间
?a,b?中取点x1?b?a? ?a?0.382?b?a?, x2?a?0.618如果", f?x1??f?x2?， 则令 a?x1，取区间 ?x1,b? 如果", f?x1??f?x2?，则令 b?x2，取区间?a,x2?",
这样，通过比较f?x1?,f?x2?的大小,就可以将区间?a,b?缩短为区间?x1,b?或?a,x2?，因为新的区间内包含了一个已经计算过函数值的点，所以从其中找出一个试点，又可将这个新的区间再缩短一次，不断地重复这个过程,直至最终的区间长度缩短到满足预先给定的精度为止。
目前，由于史文谱、刘迎曦等人的努力，用推广的黄金分割法已经能够求解部分多维区域上的函数的最优解了（如例2）。?3?
例2：用黄金分割法和Fibonacci 法求函数f?x??x2?x?2在区间[-1，3]上的极小点，要求最终区间长不大于原始区间长的0.08。
解：函数f?x??x2?x?2在区间[-1，3]上为下单峰函数，且???3?1??0.08?0.32
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