洛阳师范学院本科毕业论文
用黄金分割法求解：
取x1?a?0.382?b?a?=0.528,x2?a?0.618?b?a?=1.472 则f1?1.751,f2?2.695
∵f2?f1?0∴得到的新区间为[-1，1.472]
要仍把此区间记为?a,b?并令x2?x1,取x1?a?0.382?b?a?,继续迭代，直到满足精度求，计算过程见（表1）
（表1） 迭代计算过程
迭代次数 0 1 2 3 4 5 6 7 [a，b] ??[1,3]", ",[1,1.472]", x1 x2 0.528,1.472 -0.056,0.528 f1 f2 1.751,2.695 2.059,1.1751 1.751,1.901 1.788,1.751 1.751,1.777 1.753,1.751 1.751,1.757 a?b?? 否 否 否 否 否 否 是 [-0.056,10.472] 0.528,0.888 [-0.056,0.888] [0.305，0.888] [0.305，0.665] [0.443,0.665] [0.443,0.580 0.305,0.528 0.528,0.665 0.443,0.528 0.528,0.58 经过6 次迭代已经满足精度要求，最优解与最优值分别为
*x?1?0.443?0.665??0.554,2f*?1.571
下面用Fibonacci法求解 由Fn?b?a??12.6可知，应取的试点个数n?6
第一次迭代： 最初两个试点分别为
x1?a?F4?b?a???1*5*4?0.538,x2?a?F5?b?a??1.462F613F6
且f1?1.751,f2?2.675.∵f1?f2,∴缩短后的新区间为[-1，1.462] 第二次迭代：
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令x2=0.538，则f1?2.083
f2?1.751,取x1??1?F3?1.462?1???0.077 F5∵f1?f2,∴得到的新区间为[-0.077，1.462] 第三次迭代： 令x1=0.538，则f2?1.870
f1?1.751,取x2??0.77?F3?1.462?0.077??0.846 F4?f1?f2,∴得到的新区间为[-0.077，0.846] ??
最后一次迭代：
令x2=0.538，f2?1.751，取x1=x2-0.1*（0.846-0.231）=0.477，f1?1.751 ∵f1?f2 ∴最优解可取为x*?1?x1?x2??0.508,f*?1.750 2由此我们可以看到，这两种方法都是通过缩短搜索区间来逼近最优值的。它们的算法在优化问题的求解中发挥着重要的作用. 3.2 黄金分割法在冷压装配中的应用
自行车链轮（一种板料冲压）与右轴柄（一种切削件）要装配成一个组合件，通过链轮内孔与曲柄小台阶外径处的冷压铆合来达到抗扭强度要求，经过2000KN 扭力，在1min 后，两者的铆合处不得发生转动。冷压铆合前，于链轮的内孔上须冲压出一定数量的不冲通内齿形。内齿数太多，冷压装配时曲柄小台阶外径处的材料挤压入其间因量少而铆合不牢；内齿数太少，材料又难以压入填满其间而铆合不牢。故内齿数目有一个最佳值的问题。
1)确定初始点及可行区间
原有一模具(冲头)，冲出链轮内齿40 牙/周， 所有组合件均发生转动，转动率100%; 后来加工了一个10 牙/周的冲头，结果转动率仍为60%之多。经分析，小于10 牙/周的冲头也不行。故其实验的区间为[10,40]；精度要求为转动率为0。 2) 0.618 法优选齿数 ①新加工模具(齿数)
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?1?a?0.618?b?a??10?0.618?40?10??28牙/周
实验结果:转动率为10%. ②重新加工模具(齿数)
?2?a?0.618?b?a??10?0.618?28?10??21牙/周
实取20 牙/周（为使模具更易加工，齿数要偶数）实验结果：转动率为0。 ③按0.618 法迭代步骤,当出现|b-a|≦?时，应取?*??b?a?/2为最佳点。此时应取
?3?24??*。但工程实际问题不完全是一个纯数学问题。在这里, 还必须考虑模加工所用的成本，以及在实验中还有可能产生其它问题等。故用20 牙/周的模具就完全达到了质量要求，就不再继续迭代了。 3.3 黄金分割在股票价格变化中的应用
通常，黄金分割法中的黄金点为0.618 和0.382。但在股票价格涨幅与跌幅的测量中， 用黄金分割法时除了用0.618 和0.382 作为反压点外，其间还会用到0.382 的一半这个点作为反压点，即0.191 这一点.这是股市中的实际，也可能是其特点。因此，当预测股价上升能力与可能反转之价位时，可用前段下跌行情之最低点值乘以0.191，0.382， 0.618，0.809， 1。 当超过一倍的涨幅时,其反压点
1.191,1.382,1.618,1.809,2，相仿当预测下跌反压点时可乘以0.809，0.618， 0.382， 0.191。
例如，当下跌行情结束前，某股的最低价为10 元，那么，股价反转上升时，可预先计算出不同反弹价位：
10*(1+0.191)=11.9 元 10*(1+0.382)=13.8 元 10*(1+0.618)=16.2 元 10*(1+0.809)=18.1 元 10*(1+1)=20 元 10*(1+1.191)=21.9 元
当上升行情结束前，某股的最高价为30 元，那么，当股价反转下跌时，下跌反压点可能为：
30*(1-0.191)=24.3 元 30*(1-0.382)=18.5 元 30*(1-0.618)=11.5 元 30*(1-0.809)=5.7 元
下面列出1970～1980 年台湾股票加权股价指数的实际涨、跌值及按黄金点计算价值的对照情况表(见表2)
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表2 实际涨跌值与黄金点计算值
序号 1 2 3 4 5 6 7 时间 1973 年底—1974 年底 1975 年初 1976年3 月—1976 年底 1977 年5 月—1977 年10月 1978 年—1981 年 1982 年—1983 年7 月 1983 年底—1984 年 实际下跌、上涨价 按黄金分割计算价 514.85 188.74 514.85*0.382=197.6 429.02 188.74*（1+1.191）=413.53 417.00 257.55 417*0.618=257.70 313.92 688.52 313.92*（1+1.191）=687.80 688.52 430 688.52*0.618=425.50 421.43 765.71 421.43*（1+0.809）=766.50 969.25 421.43*（1+1.191）=923.30
3.3黄金分割的另一种表示——三角表示
由sin360?cos540,即sin2*180?cos3*180
????
得
2sin180cos180?4cos3180?3cos1800
cos18?0.?4sin2180?2sin180?1?0?2sin180
????2sin18??1?0
20???2sin180我们称含有黄金分割比?的图形为\黄金图形\。 因此顶角为360的等腰三角形是一个黄金三角形(如图1)：
1BC作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质可知，2?sin180，
AB即
BC?2sin180??亦即包含了黄金分割比。 （图1） AB被冠以“黄金图形”的几何图形还有很多：黄金矩形、黄金椭圆、黄金立方体、五角星等。这些图形蕴含着客观美和数学的奇异之美，深受人们的喜爱与重视，在艺术及生活中都有着广泛的应用。 4 黄金分割的美学价值
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黄金分割点在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，黄金分割是一种数学上的比例关系，它给画面带来美感，令人愉悦。
如图（矩形ABFE） 为黄金分割矩形：
i.一个正方形边 线的中点A向对角B画一条斜线，以斜线为半径画出的弧线，与正方形的延长线相交于C点。构成一个黄金矩形；
ii.大矩形和小矩形的对角线和边线的相交点，成为黄金二次分割的起始线； iii.这个分割过程可以无限继续下去，产生许多更小的等比的矩形和正方形。 （如图）设因为ABDC是正方形，所以
AB5?1?, AE2CEAE?ACAE2???1?CDCDAB5?1?5?15?1?1?22[3]
即CDFE也是黄金分割矩形
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