在Rt△PAC中，∵tan∠PAC=，
∴AC=，即8+x=，解得x=4（+1）≈10.92，
即AC≈10.92， ∵10.92＞10，
∴海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险．
23．如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．
【考点】切线的判定；圆周角定理；三角形的外接圆与外心． 【分析】（1）连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE，由已知条件得出∠ABC=∠CAD，由圆周角定理得出∠ADE=90°，证出∠AED=∠ABC=∠CAD，求出EA⊥AC，即可得出结论；
（2）由圆周角定理得出∠BAD=90°，由角的关系和已知条件得出∠ABC=22.5°，由（1）知：∠ABC=∠CAD，即可得出结果． 【解答】（1）证明：连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE，如图所示：
∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∠ADB=∠ACB+∠CAD， ∴∠ABC=∠CAD， ∵AE为⊙O的直径， ∴∠ADE=90°，
∴∠EAD=90°﹣∠AED， ∵∠AED=∠ABD，
∴∠AED=∠ABC=∠CAD， ∴∠EAD=90°﹣∠CAD，
第16页（共22页）
即∠EAD+∠CAD=90°， ∴EA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD=90°，
∴∠ABC+∠ADB=90°，
∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3， ∴4∠ABC=90°， ∴∠ABC=22.5°，
由（1）知：∠ABC=∠CAD， ∴∠CAD=22.5°．
24．某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m（30＜m≤100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元． （1）求y关于x的函数表达式；
（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围．
【考点】二次函数的应用；分段函数．
30＜x≤m，m＜x≤100分别求出y与x的关系即可． 【分析】（1）根据收费标准，分0＜x≤30，
（2）由（1）可知当0＜x≤30或m＜x＜100，函数值y都是随着x是增加而增加，30＜x≤m时，y=﹣x2+150x=﹣（x﹣75）2+5625，根据二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）y=．
（2）由（1）可知当0＜x≤30或m＜x＜100，函数值y都是随着x是增加而增加， 当30＜x≤m时，y=﹣x2+150x=﹣（x﹣75）2+5625， ∵a=﹣1＜0，
∴x≤75时，y随着x增加而增加，
∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加， ∴30＜m≤75．
25．已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．
第17页（共22页）
（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC； （2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．
①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；
②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长． 【考点】几何变换综合题． 【分析】（1）欲证明GF∥AC，只要证明∠A=∠FGB即可解决问题．
（2）①先证明A、D、M、C四点共圆，得到∠CMF=∠CAD=45°，即可解决问题．
②利用①的结论可知，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，利用弧长公式即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，∵CA=CB，∠ACB=90°， ∴∠A=∠ABC=45°，
∵△CEF是由△CAD旋转逆时针α得到，α=90°， ∴CB与CE重合， ∴∠CBE=∠A=45°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°， ∵BG=AD=BF，
∴∠BGF=∠BFG=45°， ∴∠A=∠BGF=45°， ∴GF∥AC．
（2）①如图2中，∵CA=CE，CD=CF， ∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD， ∵∠ACD=∠ECF， ∴∠ACE=∠CDF，
∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°， ∴∠CAE=∠CDF，
∴A、D、M、C四点共圆， ∴∠CMF=∠CAD=45°，
∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．
②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM． ∵AD=DB，CA=CB， ∴CD⊥AB， ∴∠ADC=90°，
由①可知A、D、M、C四点共圆， ∴当α从90°变化到180°时，
点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD， ∵OA=OC，CD=DA，
第18页（共22页）
∴DO⊥AC， ∴∠DOC=90°， ∴
的长=
=
．
．
∴当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N． （1）求N的函数表达式；
第19页（共22页）
（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；
（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据二次函数N的图象是由二次函数M翻折、平移得到所以a=﹣1，求出二次函数N的顶点坐标即可解决问题．
（2）由PA2+PB2=（m+1）2+n2+（m﹣1）2+n2=2（m2+n2）+2=2?PO2+2可知OP最大时，PA2+PB2最大，求出OP的最大值即可解决问题． （3）画出函数图象即可解决问题． 【解答】（1）解：二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折得到函数的解析式为y=﹣x2+1，此时顶点坐标（0，1），
将此图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度得到二次函数图象N的顶点为（2，9），
故N的函数表达式y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5． （2）∵A（﹣1，0），B（1，0），
∴PA2+PB2=（m+1）2+n2+（m﹣1）2+n2=2（m2+n2）+2=2?PO2+2，
∴当PO最大时PA2+PB2最大．如图，延长OC与⊙O交于点P，此时OP最大，
第20页（共22页）