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2232n23???，证明?2n?Tn?（（Ⅲ）记Tn????. 2n?2）a2a3an2【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数
列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分。
（I）证明：由题设可知，a2?a1?2?2，a3?a2?2?4，a4?a3?4?8，
a5?a4?4?12， a6?a5?6?18。
从而
a6a53??，所以a4，a5，a6成等比数列。 a5a42（II）解：由题设可得a2k?1?a2k?1?4k,k?N* 所以a2k?1?a1??a2k?1?a2k?1???a2k?1?a2k?3??...?a3?a1? 1?.?..?4 ?4k?4?k?? 1* ?2k?k?1?,k?N. 由a1?0，得a2k?1?2k?k?1? ，从而a2k?a2k?1?2k?2k2. ?n2?1n,n为奇数?n2??1??1?2所以数列?an?的通项公式为an??2或写为an??，
24n?,n为偶数??2n?N*。 （III）证明：由（II）可知a2k?1?2k?k?1?，a2k?2k2， 以下分两种情况进行讨论：
（1） 当n为偶数时，设n=2m?m?N*?
k2若m?1，则2n???2，
k?2akn若m?2，则
mm2k?m?1?2k?1??k24k2m?14k2?4k?1??????2?? ?aaa2k2kk?1??k?2kk?1k?1k?1k?12k2k?1n22状元源 http://zyy100.com/ 免注册、免费提供
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m?1?4k2?4k?1?1?11??? ?2m?????2m???2????? 2k?k?1??2?kk?1??k?1?2k?k?1?k?1?m?11?1?31 ?2m?2?m??1???1??n2??.
2?m?2nnk2313k2所以2n????，从而?2n???2,n?4,6,8,....
2n2k?2akk?2akn（2） 当n为奇数时，设n?2m?1?m?N*?。
?2m?1?k22mk2?2m?1?31???4m??? ??aaa22m2mm?1??k?2kk?2k2m?1n22?4m?n1131??2n?? 22?m?1?2n?1nk2313k2所以2n????，从而?2n???2,n?3,5,7,.... a2n?12k?2kk?2ak综合（1）和（2）可知，对任意n?2,n?N*,有
（2010天津理数）（22）（本小题满分14分） 3?2n?Tn?2. 2在数列?an?中，a1?0，且对任意k?N*.a2k?1，a2k，a2k?1成等差数列，其公差为dk。
（Ⅰ）若dk=2k，证明a2k，a2k?1，a2k?2成等比数列（k?N*） （Ⅱ）若对任意k?N*，a2k，a2k?1，a2k?2成等比数列，其公比为qk。 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。
?a?4k,k?N*。 （Ⅰ）证明：由题设，可得a2k?12k?1?a?(a?a)?(a?a)?...?(a3?a1) 所以a2k?112k?12k?12k?12k?3=4k?4(k?1)?...?4?1 =2k(k+1)
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?2k(k?1),从而a?a?2k?2k2,a?2(k?1)2. 由a1=0，得a2k?12k2k?12k?2aaak?1a2k?2k?12k?12k?2于是?,?,所以?2k?1。 akakaa2k2k?12k?12k,a所以dk?2k时，对任意k?N*,a,a成等比数列。
2k2k?12k?2,a,a,a（Ⅱ）证法一：（i）证明：由a成等差数列，及a,a2k?12k2k?12k2k?12k?2aa2k?1成等比数列，得2a?a?a,2??2k?1?1?qk
2k2k?12k?1aaq2k2kk?1当q1≠1时，可知qk≠1，k?N* 从而1qk?1?2?11qk?1?1?1q?1k?1?1,即1qk?1?1q?1k?1?1(k?2) ??1??所以??是等差数列，公差为1。 q?1??k??（Ⅱ）证明：a1?0，a2?2，可得a3?4，从而q1?4?2,1=1.由（Ⅰ）有 2q?111qk?1?1?k?1?k,得qk?k?1,k?N* k2aaa（）所以2k?2?2k?1?k?1,从而2k?2?k?21,k?N* aakak2k?12k2k因此， aaak2(k?1)22222k2k?2k?1?2k(k?1),k?N*4a2k?......a?.....2?2k.a?a.2k?12kkaaa2(k?1)2(k?2)2122k?22k?42以下分两种情况进行讨论：
（1） 当n为偶数时，设n=2m(m?N*)
k2若m=1,则2n???2.
k?2akn若m≥2，则
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mmk2(2k)2m?1(2k?1)24k2??????2+ ?a2k?1k?2akk?1a2kk?1k?12knm?1m?1?4k2?4k?4k2?4k?11?1?11???2m???2m?2?????????2k(k?1)?2?kk?1??k?12k(k?1)k?1?2k(k?1)k?1???m?1
1131?2m?2(m?1)?(1?)?2n??2m2n.nk2313k2所以2n????,从而?2n???2,n?4,6,8...
2n2k?2akk?2akn(2)当n为奇数时，设n=2m+1（m?N*） k22mk2(2m?1)31(2m?1)2????4m??? ?aaa22m2m(m?1)k?2kk?2k2m?1n2?4m?1131 ??2n??22(m?1)2n?1nnk2313k2,从而?2n???2,n?3,5,7·所以2n????·· a2n?12ak?2kk?2kn3k2综合（1）（2）可知，对任意n?2,n?N,有?2n???2 2k?2ak?证法二：（i）证明：由题设，可得dk?a2k?1?a2k?qka2k?a2k?a2k(qk?1),
dk?1?a2k?2?a2k?1?qk2a2k?qka2k?a2kqk(qk?1),所以dk?1?qkdk qk?1?a2k?3a2k?2?dk?1ddq?1??1?2k?1?1?k?1?k a2k?2a2k?2qka2kqka2kqkq11?k??1，
qk?1?1qk?1qk?1qk?11?由q1?1可知qk?1,k?N*。可得
?1?所以??是等差数列，公差为1。
?qk?1?（ii）证明：因为a1?0,a2?2,所以d1?a2?a1?2。 所以a3?a2?d1?4，从而q1??1?a31?2，?1。于是，由（i）可知所以??q?1a2q1?1?k?状元源 http://zyy100.com/ 免注册、免费提供
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是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得
qk?k?1。 kdk?1k?1。 ?qk?dkk1= 1??k?1??k，故qk?1从而
所以
dkdddkk?12?k.k?1........2?.......?k，由d1?2，可得 d1dk?1dk?2d1k?1k?21dk?2k。 于是，由（i）可知a2k?1?2k?k?1?,a2k?2k2,k?N* 以下同证法一。
（2010全国卷1理数）（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．已知数列?an?中，a1?1,an?1?c?1 . an51（Ⅰ）设c?,bn?，求数列?bn?的通项公式； 2an?2（Ⅱ）求使不等式an?an?1?3成立的c的取值范围 . 状元源 http://zyy100.com/ 免注册、免费提供