根据递推关系求数列的通项公式
根据递推关系求数列的通项公式主要有如下五种类型：
??1.通项与和，通项与积???an与Sn?an与Tn???累加：an?an?1?f(n)??2.累加，累乘??累乘:an?f(n)???an?1???对常数分拆：an?1?can?p??3.待定系数法?对an?1?can?kn??n分拆：??同除以?n?1或同除以cn?1：ann?1?can?k??????对中间项系数分拆：an?2?pan?1?qan（p?q?1)????4.倒数法?型一：?an?1?kancan?p????型二：anan?1?pan?qan?1?0??5.对数法：acakn?1?n (c?0,an?0)取以c(或a1)为底的对数降次 ?（一）.知an与Sn的关系求通项
Sn和Tn分别是数列{an}的前n项的和与积
型一： a?S1(n?1)n???S?S?2
nn?1(n)【方法一】： “Sn?Sn?1”代入消元消an，【方法二】： 写多一项，作差消元消Sn。【注意】漏检验n的值 (如n?1的情况)
?T1(n?1) 型二： a?n??T?n(n?2
?T)n?1【方法一】：“TnT”代入消元消an， 【方法二】：写多一项，作商消元消Tn。
n?1【注意】漏检验n的值 (如n?1的情况)
【例1】.（1）已知正数数列{an}的前n项的和为Sn，且对任意的正整数n满足
2Sn?an?1，求数列{an}的通项公式。
（2）数列{an}中，a1?1对所有的正整数n都有a1?a2?a23??an?n，求数列
{an}的通项公式
【例2】.已知数列{an}，{bn}中，对任何正整数n都有：
an1b1?ab2?2ab3?3?anbn?(n?1?)2? 1若数列{bn}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.
【作业一】
1－1.数列?ann?满足a1?3a2?32a3??3n?1an?3(n?N*)，求数列?an?的通项公式．
1－2.已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6?55，a2?a7?16 (1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若数列{ab1b2bnn}和数列{bn}满足等式：an?2?b322?23??2n(n?N?)，求数列{bn}的通项公式
1
1－3.（2010广州一模文数）已知数列?an?满足对任意的n?N*，都有an?0，
【例4】.（2009广东高考文数）在数列{an}中，a1?1,an?1?(1?)an?1ann?1b?.设，nn且a32n1?a32??a3n??a1?a2??an?． （1）求求数列{abn}的通项公式 1，a2的值；（2）求数列?an?的通项公式an
【作业二】
（二）.累加、累乘 型如an?an?1?f(n),
ana?f(n) 2－1. (1)已知数列?an?满足an?1?an?3?22n?1，且a1?2，求an. n?1型一：aa ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法）
(2) 已知数列?a1n?n?1?f(n)n?满足an?1?an?ln(1?n)，且a1?2，求an. 【方法】an?an?1?f(n)，an?1?an?2?f(n?1)，??，a2?a1?f(2)
n?2，an?a1?f(n)?f(n?1)??f(2)，检验n?1的情况
a 型二：na?f(n)，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） n?1
【方法】n?2，an2－2. (1)已知数列a?an?1??a2?f(n)?f(n?1)??f(2)
?an?满足an?1?2nan，且a1?1，求an.
n?1an?2a1(2)数列?an?中，Sn是数列的前n项和，若Sn?n2an，a1?1，求 即an a?f(n)?f(n?1)??f(2)，检验n?1的情况
1 【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有n?1个等式相加（相乘）. 【例3】. (1) 已知a1 1?2，an?an?1?1n2?1(n?2)，求an. （2）已知数列?an
n?满足an?1?n?2a?2n，且a13，求an. 2－3.已知a1?1，a1n n?1?2an?2n?1，求an.
2
2nan. 三）.待定系数法
型一：an?1?can?p （c,p为非零常数,c?1,p?1）
【例7】. （1）已知a1?1，an?1?2an?2n，求an.
（2）（2012年广东高考19）设数列{an}的前n项和为Sn，满足2sn?an?1?2n?1?1，
【方法】构造an?1?x?c(an?x)，即an?1?can?(c?1)x，
故(c?1)x?p， 即{apn?c?1}为等比数列
型二：an?1?can?kn （c,k为非零常数,c?1） 【方法】分拆n
设x,y，满足：an?1?x(n?1)?y?c(an?xn?y) 整理，得an?1?can?(c?1)xn?(c?1)y?x
?k 即，??x??(c?1)x?k?(c?1)y?x?0 ??c?1?k
??y?(c?1)2 数列{akkn?c?1n?(c?1)2}为等比数列 型三：an?1?can?k??n （c,k为非零常数,c?1） 除幂变换 【方法】分拆?n，两边同除以?n?1
得， an?1cankan?1cank?n?1??n?1??，即?n?1????n??，
若c??，??an???n??为等差数列；若c??时，转化为型一求解
型四：an?2?pan?1?qan (p、q为非零常数，且p?q?1)
【方法】an?2?(1?q)an?1?qan，即an?2?an?1??q(an?1?an)， 数列{an?1?an}为等比数列，再用累加法可求。 【例5】. a1?1，an?1?2an?3，求数列{an}的通项公式。
【例6】. 已知a1?1，an?1?3an?2n?1，求an.
n?N*，且a1，a2?5，a3成等差数列。
（1） 求a1的值；求数列{an}的通项公式。
【例8】. 已知an?2?2an?1?3an?0，a1?1,a2?5，求an.
【作业三】
3－1.数列?an?中，an?1?3an?5，a1?2，求an.
3－2.数列?an?中，an?1?3an?2n?3,a1?1，求通项公式an.
3－3.数列?ann?中，an?1?2an?2?3,a1?1，求通项公式.
3－4.（2008年高考文数）设数列{an}满足a1?1，a2?2，(n?3,4,，求数列){an}的通项公式.
3
a1n?3(an?1?2an?2)
3－5. （2008年高考理数）设数列{an}满足
x1?1,x2?31,xn?xn?1?xn?2(n?3,4?),求{xn}的通项公式. 44【作业四】
4－1.已知a1?1，an?1?
4－2.设函数f(x)?f(x1)?an，求an. 2?2an
(四).倒数法
kana? 型一：n?1 (k,p,c为非零常数)
can?p1p1c???, 转化为待定系数法求解 【方法】两边取倒数，得
an?1kankx，方程x?f(x)有唯一解，其中实数a为常数，
a(x?2)2，f(xn)?xn?1 (n?N?), 求f(x)的表达式，并求xn. 2013 型二：canan?1?pan?qan?1?0 (c,p,q为非零常数)
111?q??0，转化为数列{}，再求解 【方法】两边同除以anan?1，得c?p?anan?1an【例9】. 已知数列{an}的首项为a1?，an?1?式
【例10】. 已知数列{an}满足：a1?，an?1?an??2anan?1，求a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式。
2n?1?an【例11】.已知数列?an?满足an?1?，且a1?2，求an. n?1an?212353an，n?1,2,2an?1，求{an}的通项公
4－3.已知数列满足a1?1，an?1?an?anan?1 (n?2)，求an.
(五)．.对数法（取对数降次）
k型如： an?1?can (c?0,an?0)
k 【方法】两边取以c(或以a1)为底的对数，得logcan?1?logc(can)，即 log，locgc?klog1kloa，再用待定系数法求解数列can?1?canlogcan?1??cgn {locgan的通项公式}【例12】. 已知a1?2，an?1?an，求an.
4
根据递推关系求数列的通项公式参考答案
【例1】【解】（1）∵2Sn?an?1，∴4Sn?(an?1)2,4Sn?1?(an?1?1)2， 则当n?2时，
4an?an2?2an?an?12?2an?1，即(an?an?1)(an?an?1?2)?0，而an?0，
∴an?an?1?2(n?2), 即{an}为等差数列，又2S1?a1?1,?a1?1,?an?2n?1 (2)解：a1?a2?a3?②
3?（2）由于a13?a23?则有a13?a23?an??a1?a2??an?， ①
?an?an?1?． ②
22233?an?an?1??a1?a2?3②－①，得an?1??a1?a2??an?an?1???a1?a2??an?，
22由于an?0，所以an?1?2?a1?a2?2同样有an?2?a1?a2??an??an?1． ③
?an?n ① a1?a2?a3?2 ?an?1?(n?1) (n?2)n?1n?22?an?1??an?n≥2?， ④
22③－④，得an?1?an?an?1?an． 所以an?1?an?1．
?12n?a?n?1 ①/②，得n?2，an?， 检验，时，，故a?1?n2n12(n?1)?(n?1)2?由于a2?a1?1，即当n≥1时都有an?1?an?1，所以数列?an?是首项为1，公差为1的等差
数列．
故an?n．
52n?14? （2）答案：an? 42n(n?1)3n(n?1)aa11【例4】.【分析】.（1）由已知有n?1?n?n，?bn?1?bn?n，
n?1n221 利用“累加法”即可求出数列{bn}的通项公式：bn?2?n?1(n?N*).
2【作业二】
2－1. （1）答案：an?22n?1 (2)答案：an?2?lnn
【例2】.【解】依题意，bn?2n?1，由
【例3】. （）答案：an?a1b1?a2b2?a3b3? a1b1?a2b2?a3b3??anbn?(n?1)?2n?1 ① ?an?1bn?1?(n?2)?2n?1?1 (n?2) ②
①-②，得anbn?n?2n?1，即an?n (n?2)，对①式，令n?1得a1b1?1，故a1?1满足an?n. 所以数列{an}的通项公式是an?n(n?1,n?N?) 【作业一】
11－1. 答案：an?n
3?a3?a6?16?a3?5?a3?111－2. 【解】(1){an}是等差数列，所以a3?a6?a2?a7，由?解得?或?(舍
aa?55a?11a?5?36?6?6去)
a?a 所以公差d?63?2，数列an?a3?(n?3)?2?2n?1
6?3bnbn?1bbb3b1b2b3???a?????(2) an?1?2 ① (n?2) n?123n23n?122222222②
bbn2? ①?②，得 an?an?1?n，所以，即bn?2n?1(n?2)， nn22bn?1时，a1?1，故b1?2
2(n?1)?2 所以bn??n?1
(n?2)?21－3. 【解】（1）当n?1时，有a13?a12，由于an?0，所以a1?1．
2－2. (1)答案：an?2n(n?1)2 (2)答案：an?2
n(n?1)2－3.【解】分析：2n?1an?1?2nan?n，所以2n?1an?1?2nan?n，再用累加法求数列{2nan}的通
n2?n?4项公式，an?.
2n?1【例5】.答案： an?2n?1?3
【例6】. 【解】分析：令an?1?x(n?1)?y?3(，比较系数得：x?1,y?1. 则an?xn?y)an?1?(n?2)?3(an?n?1)，故?an?n?1?是首项为a1?2?3，公比为3的等比数列，
由此可得an?3n?n?1.
【例7】. （1）法一：待定系数法，法二：累加法，答案：an?3n?2n （2）答案：a1?2，an?4n?2n
【例8】.【解】.解：an?2?(?2)an?1?3an?1，所以an?2?(1?3)an?1?3an，
即an?2?an?1??3(an?1?an)
a?a所以，n?2n?1??3，故{an?1?an}是以a2?a1?4为首项，?3为公比的等比数列，
an?1?an当n?2时，有a?a??a1?a2?，将a1?1代入上式，由于an?0，所以a2?2
31322an?1?an?4?(?3)n?1，再用累加法求an
an?an?1?4?(?3)n?2，an?1?an?2?4?(?3)n?3，??，a2?a1?4?(?3)0，
5
以上各式相加，
1?(?3)n?1?1?(?3)n?1 (n?2)得an?a1?4?[(?3)?(?3)??(?3)]?4? 4即，n?2时，an?2?(?3)n?1，检验，n?1时，a1?1不满足an?2?(?3)n?1，所以
n?2n?30n?1?1an?? n?12?(?3)n?2?【作业三】
5?3n?13－1.答案：an? 3 －2.答案：an?3n?1?n?1 3－3.答案：an?2?3n?5?2n?1
212)3－4. 【解】由an?(an?1?an?2)得 an?an?1??(an?1?an?)2 (n?3
332 又 a2?a1?1?0， ?数列?an?1?an?是首项为1公比为?的等比数列，
3111111111111??n，??n?1， ????，??3，??2， anan?12an?1an?22a3a22a2a12111111以上各式相加，得??n?n?1?n?2??2 (n?2)，
ana1222211即n?2， ?1?()n，
an211 n?1时，?满足上式，
a12
2n所以an?n2?1【作业四】
(n?1,n?N?) 13?2n?14－1.答案：an??2
?2?an?1?an????
?3? n?2时， an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)??2??2? ?1?1??????????3??3? n?1时，a1?1满足an?? ) (n?1,n?Nn?1?(an?an?1)
n?12?2??????3?n?2?2?1????3??1??21?38??53???5?2??3?n?1
832n?1832?(?)，故数列{an}的通项公式是an??(?)n?1 55355312111112111设x，即 ???，(?x)?(?x)，???x，
an?133anan?13an3an?13an22211所以?x?，即x??1，故数列{?1}是以为首项，为公比的等比数列，
3333an【例9】. 【解】两边取倒数，得
13n121n?111n??1??()，即?1?2()，即an?所以 1n3n?2an33an31?2()311111??2，即??2，故{}是等差数列，【例10】. 【解】两边同除以anan?1，得?an?1ananan?1an首项为2，公差为2，
11 故?2?(n?1)?2?2n，即an?
2nan111111?n?1?，所以??n?1，运用累加法 【例11】.【解】两边取倒数，得
an?12anan?1an26
x?2)?x，即ax2?(2a?1)x?0?x，可化简为ax(x，a?0，
a(x?2)11???(2a?1)2?0，即a?，故当且仅当a?时，方程x?f(x)有唯一解.此时
222xf(x)?
x?212xn1111 xn?1?，两边取倒数，得??，即{}是以为公差的等差数列，
2xn?2xn?12xnxn12x1211n?20111又，故x1?，?1006， ， ??1006?(n?1)??1006x1?22013xn22x12即xn? (n?1,n?N?)
n?2011114－3.【解】两边同除以anan?1，得??1，
anan?14－2.【解】.由
11}是等差数列，公差为1，?1?(n?1)?n anan1 所以an?2
n1【例12】. 【解】两边取以2为底的对数，得log2an?1?log2an，故{log2an}是等比数列，首
21项为1，公比为的等比数列，
21()n?11?n1n?1 所以，log2an?()，an?22?22
2故{