第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法位置关系 相交 相切 相离 2.圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．
方法位置关系 外离 外切 相交 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2| 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( ) (2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．( ) (3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( ) (4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 无解 一组实数解 两组不同 的实数解 一组实数解 无解 几何法 d D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析：选C.由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，所以 |a－0＋1|1＋（－1） 1|≤2，解得－3≤a≤1，故选C. 圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为( ) A．x＋3y－2＝0 C．x－3y＋4＝0 B．x＋3y－4＝0 D．x－3y＋2＝0 2 2 ≤2，即|a＋ 解析：选D.因点P在圆上，且圆心Q的坐标为(2，0)， －33所以kPQ＝＝－3，所以切线斜率k＝， 32－1所以切线方程为y－3＝即x－3y＋2＝0. 若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m＝________． 解析：圆C1的圆心是原点(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心C2(3，4)，半径r2＝ 25－m， 25－m＝5，所以m＝9. 3 (x－1)， 3 由两圆外切，得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋答案：9 直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝________． 解析：如图，取AB中点C，连接OC，OA，则OC⊥AB， |0－2×0＋5|1＋（－2） 2 |OA|＝22，|OC|＝ 2 ＝5， 所以|AC|＝8－5＝3， 所以|AB|＝2|AC|＝23. 答案：23 直线与圆的位置关系 [典例引领] (1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， 则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( ) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 (2)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________． 【解析】 (1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， |a·0＋b·0－1|所以a2＋b2＞1，从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝22a＋b直线与圆相交． (2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解得k∈(－3，3)． 法二：圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝ 2 2 1a＋b 2 2 ＜1，所以 ，直线与圆没有公共点的充要条件是 k＋1 2 2 d>1，即 >1，解得k∈(－3，3)． k＋1 【答案】 (1)B (2)k∈(－3，3) 若将本例(1)的条件改为“点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1上”，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系如何？ 解：由点M在圆上，得a2＋b2＝1，所以圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝ 1a＋b 2 2 ＝1， 则直线与圆O相切． 判断直线与圆的位置关系常用的方法 [提醒] 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题． [通关练习] 1 1．直线xsin θ＋ycos θ＝1＋cos θ与圆x2＋(y－1)2＝的位置关系是( ) 2A．相离 C．相交 B．相切 D．以上都有可能 |cos θ－1－cos θ|2 解析：选A.因为圆心到直线的距离d＝＝1>，所以直线与圆相离． 2 sin2θ＋cos2θ2．(2018·聊城模拟)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( ) A．1 C．3 B．2 D．4 |9＋12－11|解析：选C.因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆 5相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个． 圆的切线与弦长问题(高频考点) 圆的切线与弦长问题，是近年来高考的一个热点，多以选择题、填空题的形式呈现，多为中、低档题目．高考对圆的切线及弦长问题的考查主要有以下三个命题角度： (1)求圆的切线方程； (2)求弦长及切线长； (3)由弦长及切线问题求参数． [典例引领] 角度一 求圆的切线方程 过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A．2x＋y－5＝0 C．x－2y－5＝0 B．2x＋y－7＝0 D．x－2y－7＝0 【解析】 因为过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条， 所以点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上， 1－01 因为圆心与切点连线的斜率k＝＝， 3－12 所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B. 【答案】 B 角度二 求弦长及切线长 (1)若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且csin C＝3asin A＋3bsin B，则直线l： ax－by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截得的弦长为( ) A．46 C．6 B．26 D．5 (2)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________． abc 【解析】 (1)因为＝＝. sin Asin Bsin C 故由csin C＝3asin A＋3bsin B可得c2＝3(a2＋b2)． 圆O：x2＋y2＝12的圆心为O(0，0)，半径为r＝23，圆心O到直线l的距离d＝ |c|a＋b 2 2 ＝3，所以直线l被圆O所截得的弦长为2r2－d2＝2（23）2－（3）2＝6，故选C. (2)由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，－1)． 所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6. 【答案】 (1)C (2)6 角度三 由弦长及切线问题求参数 (2016·高考全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点， 若|AB|＝23，则圆C的面积为________． 【解析】 圆C的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r＝a＋2，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为( 2 |－a＋2a| 2 |a|?2|a|?＝，所以＋(3)2＝ ?2?2 a2＋2)2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π. 【答案】 4π (1)求直线被圆截得的弦长的常用方法