①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2
r2－d2.
②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝(2)圆的切线方程的求法
①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
[通关练习]
1．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( ) A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
解析：选A.设直线方程为2x＋y＋c＝0，由直线与圆相切，得d＝求方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
2．(2018·洛阳市第一次统一考试)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“|AB|＝2”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
解析：选A.依题意，注意到|AB|＝2＝即有
1
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
|OA|2＋|OB|2等价于圆心O到直线l的距离等于2
，2
|c|
＝5，c＝±5，所以所5
1＋k2|x1－x2|.
2
＝，k＝±1.因此，“k＝1”是“|AB|＝2”的充分不必要条件，选A. 22
k＋1
3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________． 解析：设圆心到直线l：mx＋y＋3m－3＝0的距离为d，则弦长|AB|＝2
12－d2＝23，得
3m－3||d＝3，即＝3，解得m＝－
m2＋1
3|AB|
，则直线l：x－3y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝3cos 30°
＝4. 答案：4
圆与圆的位置关系
[典例引领]
(1)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为( ) A.
6
2
3B. 2D．23
9C. 4
(2)两圆C1：x2＋y2＋4x＋y＋1＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0相交于A、B两点，则|AB|＝________．
【解析】 (1)由圆C1与圆C2相外切，可得（a＋b）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a＋
9
b)2＝a2＋2ab＋b2＝9，根据基本不等式可知9＝a2＋2ab＋b2≥2ab＋2ab＝4ab，即ab≤，当
4且仅当a＝b时，等号成立．故选C.
(2)由(x2＋y2＋4x＋y＋1)－(x2＋y2＋2x＋2y＋1)＝0得弦AB所在直线方程为2x－y＝0. 圆C2的方程即为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1， 圆心C2(－1，－1)，半径r2＝1. 圆心C2到直线AB的距离 |2×（－1）－（－1）|1d＝＝.
55所以|AB|＝2
2r22－d＝2
1451－＝. 55
45【答案】 (1)C (2) 5
若本例(1)条件中“外切”变为“内切”，求ab的最大值． 解：由C1与C2内切，
得
（a＋b）2＋（－2＋2）2＝1.
2
?a＋b?21
即(a＋b)＝1, 又ab≤??＝，
?2?4
1
当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为. 4
(1)几何法判断圆与圆的位置关系的步骤 ①确定两圆的圆心坐标和半径；
②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，并求r1＋r2，|r1－r2|； ③比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，然后写出结论． (2)两圆公共弦长的求法
l
两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半2径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．
[通关练习]
1．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为( ) A．2 C．2或－5
B．－5 D．不确定
解析：选C.由C1(m，－2)，r1＝3；C2(－1，m)，r2＝2； 则两圆心之间的距离为|C1C2|＝解得m＝2或－5.故选C.
2．(2018·河南郑州模拟)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
解析：⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，所以O1A⊥OA.
（m＋1）2＋（－2－m）2＝2＋3＝5，
又因为|OA|＝5，|O1A|＝25，
所以|OO1|＝5.又A，B关于OO1所在直线对称， 所以AB长为Rt△OAO1斜边上的高的2倍． 所以|AB|＝2 ×答案：4
解决有关弦长问题的两种方法
2
l2?l?(1)几何法：直线被圆截得的半弦长、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且r＝?2?＋2
5×25
＝4. 5
d2；
(2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝－y2|＝
11＋2·（y1＋y2）2－4y1y2(k≠0)． k
11＋2|y1
k
求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形． 易错防范
(1)求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．
(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条：过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得
一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．
1．(2018·安徽江南十校联考)直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是( ) A．[－2，2] C．[－2－1，2－1]
B．[－22，22] D．[－22－1，22－1]
解析：选D.圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线|2－1＋m||m＋1||m＋1|的距离d＝＝，若直线l与圆C恒有公共点，则≤2，解得－22－
2221≤m≤22－1，故选D.
2．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2
＋y2＝3的位置关系是( ) A．相交 C．相离
B．相切 D．不确定
解析：选A.因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2，1)，半径为2，
因为直线l与圆C相切．
|－2k－1＋1|所以＝2，解得k＝±1，
2
k＋1因为k<0，所以k＝－1，
|2＋0－1|2
所以直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2，0)到直线l的距离d＝＝<3，所以
22直线l与圆D相交．
3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( ) A．{1，－1} C．{1，－1，3，－3}
B．{3，－3}
D．{5，－5，3，－3}
解析：选C.因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝1，外切时，|a|＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1，3，－3}．
4．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有( ) A．1条 C．3条
解析：选D.圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4， 所以圆心C1(－1，－1)，半径长r1＝2； 圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心C2(2，1)，半径长r2＝1. 所以d＝（－1－2）2＋（－1－1）2＝13，r1＋r2＝3，
B．2条 D．4条
所以d＞r1＋r2，所以两圆外离，所以两圆有4条公切线．
5．(2018·兰州市诊断考试)已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t，0)，B(t，0)，(t>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则当t取得最大值时，点P的坐标是( )