（2014·东城1月期末·24）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中?C?90?,?B??E?30?.
（1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转．当点D恰好落在AB边上时，填空：
图1 图2 ① 线段DE与AC的位置关系是 ；
② 设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是 ，证
明你的结论； （2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．
图3
24．解：（1）①线段DE与AC的位置关系是 平行 ． …………………..1分 ②S1与S2的数量关系是 相等 ．
证明：如图2，过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F．
由①可知 △ADC是等边三角形，DE∥AC， ∴DN=CF, DN=EM． ∴CF=EM．
∵?ACB?90?,?B?30?，
∴AB?2AC． 又∵AD?AC,
∴BD?AC． 图2
11∵S1?CF?BD，S2?AC?EM，
22∴S1=S2． …………………..3分
6
（2）证明：如图3，作DG⊥BC于点G，AH⊥CE交EC延长线于点H.
∵?DCE??ACB?90?,??DCG??ACE?180?． 又∵?ACH??ACE?180?,??ACH??DCG．
又∵?CHA??CGD?90?,AC?CD,
∴△AHC≌△DGC．
∴AH=DG．
又∵CE=CB, 图3 ∴S1?S2． ……………………..7分
（2014·丰台1月期末·25）已知?ABD和?CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点
点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，C)，
联结AF、AE，AE交BD于点G．
（1）如图（1），求证：?EAF??ABD； （2）如图（2），当AB?AD时，M是线段AG上一点，联结BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，?MBF?12试探究线段FM和?BAF，AF?AD，
23FN之间的数量关系，并证明你的结论．
AAMBEGFDBEGFNDCC图（1） 图（2）
25. (1)证明：如图1 连接FE、FC
∵点F在线段EC的垂直平分线上,
∴ FE=FC ∴∠l=∠2 ………………………1分
∵△ABD和△CBD关于直线BD对称． ∴AB=CB ,∠4=∠3，又BF=BF
A ∴△ABF≌△CBF， ∴∠BAF=∠2，FA=FC
∴FE=FA，∠1=∠BAF． …………………………2分 5∴∠5=∠6，
∵ ∠l+∠BEF=1800，∴∠BAF+∠BEF=1800 F4B0
3G ∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360 60
∴∠AFE+∠ABE=180 ………………………………3分 1E2又∵∠AFE+∠5+∠6=1800 ，
∴∠5+∠6=∠3+∠4
C∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD………………………4分
7
D
(2)解：FM=
7FN ……………………………………………5分 2AMBGQEFND证明：如图2，由(1)可知∠EAF=∠ABD，
又∵∠AFB=∠GFA ∴△AFG∽△BFA ∴∠AGF=∠BAF
又∵∠MBF=
11∠BAF，∴∠MBF=∠AGF 22 又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG∴∠MBG=∠BMG
∴BG=MG…………………………6分 ∵AB=AD ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF
又∵∠FGA=∠AGD．∴△AGF∽△DGA．
GFAGAF ??CGADGDA2GFAG2∵AF=AD??? 图2
3GADG3?设GF=2a，则AG=3a， ∴GD=
995a，∴FD=DG-GF=a?2a=a 222∵∠CBD=∠ABD ，∠ABD=∠ADB，∴∠CBD=∠ADB. ∴BE//AD．∴
BGEGEGAG2????，设EG=2k，则MG=BG=3k GDAGBGGD3过点F作FQ∥ED交AE于Q，
?4GQGF2a4……………………7分 ??? ?GQ?QE5a5QEFD524810835∴GQ=EG=k．∴QE=k， MQ=MG+GQ=3k+k=k
9999935k7MFMQ97∵FQ∥ED，????.∴FM=FN……………8分
2FNQE10k29
（2014·昌平1月期末·25）已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，点E是射线CD上的一个动点（与C、D不重合），将△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE'，连接EE'. （1）如图1，∠AEE'= °；
（2）如图2，如果将直线AE绕点A顺时针旋转30°后交直线BC于点F，过点E作EM
∥AD交直线AF于点M，写出线段DE、BF、ME之间的数量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，如果CE=2，AE=27，求ME的长.
DE
AA8
MDEAMDEF图3C E'B图1CE'B图2FCE'B25．解：(1) 30°. …………………………………………………… 1分 (2)
当
点
E
在
线
段
CD
上
时
，
DE?BF?2ME； ………………………………………… 2分
当点E在CD的延长线上，
0???EAD?30?时，BF?DE?2ME； ………………… 3分 30； 90???EAD?120?时，???EAD?9?0时，DE?BF?2ME. …………………………………………4分 DE?BF?2ME (3)作AG?BC于点G, 作DH?BC于点H.
由AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，得∠ABC=∠DCB=60°，
易知四边形AGHD是矩形和两个全等的直角三角形?ABG，?DCH.
则GH=AD , BG=CH. ∵?ABE???ADC?120?, ∴点E?、B、C在一条直线上.
AME'PBGDEFHQC1设AD=AB=CD=x,则GH=x,BG=CH=x,.
2作EQ?BC于Q.
在Rt△EQC中，CE=2, ?C?60?, ∴CQ?1, EQ?3. ∴E'Q=BC?CQ?BE??2x?1?x?2?3x?3.…………………………………5分 作AP?EE?于点P.
∵△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE'.
∴△A EE'是等腰三角形，?AE?E?30?,AE??AE?27. ∴在Rt△AP E'中，E'P=21. ∴EE'=2
E'P=221. ……………………………………………………………………6分
∴在Rt△EQ E'中，E'Q=E?E2?EQ2?9. ∴3x?3?9.
∴x?4. ………………………………………………………… 7分
9
∴DE?BE??2,BC?8，BG?2. ∴E?G?4
在Rt△E'AF中,AG?BC,
∴Rt△AG E'∽Rt△FA E'. ∴
AE?E?F ?E?GAE?∴E?F?7.
∴BF?E?F?E?B?5. 由（2）知：DE?BF?2ME.∴ME?[来源:Z*xx*k.Com]
7. ………………………………………………………… 8分 2（2014·怀柔1月期末·24）（1）如图1，在等边△ABC中，点M是边BC上的任意一点（不
含端点B、C），联结AM，以AM为边作等边△AMN，联结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
[来【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是边BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是边BC上的任意一点（不含端点B、C），联结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．联结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
[来源:Zxxk.Com]
ANANA
BNM图1C
B图2CMBM图3C24.（（本小题满分7分）
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BM图1CNB图2CMBM图3C10