（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN， ∴△BAM≌△CAN（SAS），………………………………1分 ∴∠ABC=∠ACN．………………………………2分
（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．………………………………3分 理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN， ∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，
∴△BAM≌△CAN（SAS），………………………………4分 ∴∠ABC=∠ACN．………………………………5分 （3）∠ABC=∠ACN．
理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，
∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，……………………6分 ∴
=
，又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．………………………………7分
（2014·顺义1月期末·24）如图，△ABC和△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三
角形，连结BD，BE，CE，延长CE交AB于点F，交BD于点G． （1）求证：△AFC∽△GFB；
AC（2）若△ADE是边长可变化的等腰直角三角形，并将
D使CE的延长线始终与线段△ADE绕点A旋转，
BD（包括端点B、D）相交．当△BDE为等腰直EF角三角形时，求出AB∶BE的值．
GB24．解：（1）证明：∵?BAC?90°，?DAE?90°，
∴?DAB??BAE??BAE??EAC?90°．
∴?DAB??EAC．…………………………………………………1分 ∵AD?AE，且AB?AC， ∴△ADB≌△AEC，
∴?DBA??ECA．…………………………………………………2分 又??GFB??AFC， …………………………………………… 3分 ∴△AFC∽△GFB．………………………………………………4分
（2）解：∵△AFC∽△GFB，
∴?FGB??FAC?90°．
11
A①当?DEB?90°，DE=BE时，如图①所示， D 设AD=AE=x，则DE? 2x． FCE∵△BDE为等腰直角三角形， ∴BE?DE?GB2x．
∴BD?2x．
∵?ADB??ADE??EDB?45°+45??90°， 图① ∴AB?AD2?BD2?5x．
∴AB∶BE=5∶2． ……………………………………………5分 ②当?EDB?90°，DE=DB时，如图②所示， 同理设AD=AE=x，则DE?2x?BD． ∴BE?2x． ∵?AEB?90°， ∴AB?AECD(G)FAE2?BE2?5x．
[来源学科网]2． ……………… 6分 B ∴AB∶BE=5∶ 图②
③当?DBE?90°，BD=BE时，如图③所示，
同理设AD=AE=x，则DE?∴BD=BE=x．
∴四边形ADBE是正方形， ∴AB?DE?[来源学科网ZXXK]
C A2x．
DE2x．
(G)B(F)∶BE=∴AB2∶1． …………7分 图③
（2014·延庆1月期末·24）如图①，已知点O为菱形ABCD的对称中心，∠A=60°，将等边△OEF的顶点放在点O处，OE ，OF分别交AB，BC于点M ，N. （1）求证：OM=ON；
（2）写出线段BM ，BN与AB之间的数量关系，并进行证明；
（3）将图①中的△OEF绕O点顺时针旋转至图②所示的位置，请写出线段BM ，BN
D12
与AB之间的数量关系，并进行证明.
EFBMAONCAEMBONFCD图① 图②
24.
（1）证明：取BC的中点G，连接OG ∵菱形ABCD,∠A=60°
∴∠A=∠C=∠ABD=60°,AB=BC=CD=DA……1分 ∵点O为菱形ABCD的对称中心 ∴OD=OB
AEBM2ON1FGC1 ∴OG?CD，OG//CD ………………2分
2∴∠BGO=∠C=60°, OG=OB
∵等边△OEF ∴∠EOF=60° ∴∠1=∠2 ∵∠BGO=∠ABD=60° ∴△OBM≌△OGN
∴OM=ON ………………3分 (2)由（1）可知，BM=NG
ADEMBG12ONFC1∵OB=OD，BG=GC ∴BG?BC ………………4分
21∵BG=BN+NG，AB=BC ∴BN?NG?AB ………………5分
2（3）取BC中点G 同理可证：∴△OBM≌△OGN ∴BM=GN ………………6分
∴BG=BN-NG ∵BG?
D11BC ∴BN?NG?AB ………………7分 2213