（三）带电粒子运动方向的不确定形成多解
例题 3：如图 4 所示，磁感应强度为 B 垂直纸面向里的匀强磁场中有一个粒子源 S,能在图 示纸面上 360°范围内向各个方向发射速率相等的质量为 m、带电量为-e 的电子，若电子的发射速率为 V = BqL/m ,从点 S射出后要击中相距 L 的 O 点，则点S 处电子的射出方向与 OS 的夹角为多少？从 S 到点 O 的时间多少？
（四） 临界状态不唯一形成多解
例题 4. 如图甲所示，A、B 为一对平行板，板长为 l ，两板距离为 d，板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直纸面向里，一 个质量为 m，带电量为-q 的带电粒子以初速 v0从 A、B 两板的中间沿垂直于磁感线的方向射入磁场。求：v0 在什么范围内，粒子能从磁场内射出？
A m d B l
（改变）（2011?揭阳模拟）如图所示，A、B为一对平行板，板长为l，两板距离为d，板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，一个质量为m，带电量为+q的带电粒子自静止开始经M、N两平行金属板间的电场加速后，从A、B两板的中间沿垂直于磁感线的方向射入磁场．（不计粒子的重力）求：
（1）若粒子被加速后进入磁场的速度为v0，则它在磁场中做圆周运动的半径和周期各为多少？
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（2）MN两极板间的电压U应在什么范围内，粒子才能从磁场内射出？
巩固练习 3：如图，一质量为 m 的带正电 q 的小球穿在一足够 长的固定粗糙水平杆上，整个装置处于磁感应强度为 B 的匀强 磁场中，磁感应强度方向如图，现给小球以向右的初速度 V,则 当小球达到稳定状态时小球克服摩擦所做的功为多少？
（五） 运动的周期（或重复）性形成多解
例题 5.如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场以 MN 为边界，左侧磁感应强度为 B1，右侧磁感应强度为 B2，B1=2B2=2T，荷质比为 2×106 C/kg 的带正电粒子从O点以 v0=4×104 m/s 的速度垂直 MN 进入右侧的磁场区 域，求粒子通过距离 O 点 4cm 的磁场边界上的 P 点所需的时间？
例题 6：[06 年全国卷 II.25]如图所示，在 x＜0 与 x＞0 的区域中，存在磁 感应强度大小分别为 B1 与 B2 的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且 B1＞B2。一个带负电的粒子从坐标原点 O 以速度 v 沿 x 轴负方向射出,要使该粒子经过一段时间后又经过 O 点，B1 与 B2 的比值应满足什么条件？
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例题 7．如图所示，在 x 轴上方有一匀强电场，场强为 E，方向竖直向下。 在 x 轴下方有一匀强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里。在 x 轴 上有一点 P，离原点的距离为 a。现有一带电量+q 的粒子，质量为 m，从 Y 轴上一点 M 由静止开始释放，要使粒子能经过 P 点，求初始坐标应满足什 么条件？（重力作用忽略不计）
例题 8、如图所示，半径为 r 的圆筒中有沿圆筒轴线方向、大小为 B 的匀强磁场，质量为 m、带电荷量为+q 的粒子以速度 v 从筒壁小孔 A 处沿半径方向垂直磁场射入筒中，若它在 筒中仅受洛伦兹力作用，且与筒的碰撞无能量损失，并保持原有电荷量，粒子在筒中与壁 相撞并绕壁一周仍从 A 孔射出，则 B 的大小必须满足什么条件？ 粒子在筒中运动时间是多少？
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（改变）如图所示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面，其半径为R，圆筒的轴线在O处．圆筒内有匀强磁场，磁场方向与圆筒的轴线平行，磁感应强度为B．筒壁的H处开有小孔，整个装置处在真空中．现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子P以某一初速度沿筒的半径方向从小孔射入圆筒，经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒．设：筒壁是光滑的，P与筒壁碰撞是弹性的，P与筒壁碰撞时其电荷量是不变的．若要使P与筒壁碰撞的次数最少，问： （1）P的速率应为多少？
（2）P从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少？
（改变）如图所示，半径为R的绝缘圆筒中有沿轴线方向的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，匀强磁场的磁感应强度为B，圆筒形场区的边界由弹性材料构成。一个质量为m．电荷量为q的正离子(不计重力)以某一速度从筒壁上的小孔M进入筒中，速度方向与半径成θ=30°夹角，并垂直于磁场方向。离子和筒壁的碰撞无能量和电荷量的损失．若选择合适的进入速度，离子可以从M孔射出。问：
(1)离子的速度多大时，离子可以在最短的时间内返回M孔最短的时间是多少? (2)如果离子与筒壁发生两次碰撞后从M孔射出，离子的速率是多大?从进入圆筒到返回M孔经历的时间是多少?
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带电粒子在磁场中运动的多解问题 参考答案
例1（1）带电粒子离开磁场时的位置坐标为（0，mv/qB）（2）带电粒子在磁场中运动时间为πm/qB 巩固练习 1：AB=2d/tanθ 改变题答案：（1）质子在磁场中做圆周运动的半径为2.6×10-2m； （2）A、B两点间的最短距离dmin为0.2m；
（3）质子由A点运动到B点的时间的最小值8.9×10-7s
改变题答案： A：如图，粒子B的位置在B、B时速度方向也斜向上，速度跟在A
2
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点时的速度大小相等，方向相同，速度相同．故A正确；
B：根据轨迹，粒子经过边界L时入射点与出射点间的距离与经过边界L时
1
2
入射点与出射点间的距离相同，与速度无关．所以当初速度大小稍微增大一点，但保持方向不变，它仍有可能经过B点．故B正确． C：如图，设L与L 之间的距
1
2
离为d，则A到B的距离为：x= 2d tanθ
所以，若将带电粒子在A点时初速度方向改为与L成60°角斜向上，它就只经过一个周期后一定不经过B点，但是粒子继续运动时 就不一定了．故C错误． D：如图，分别是正负电荷的轨迹，正负电荷都可能．故D错误． 故选：AB
2
2
例2AC;巩固练习 2：AD;例3分析：由已知条件知电子圆周运动的半径，
电子从点S射出后要经过点O即直线SO为圆的一条弦，由图知必有两种运动轨迹存在；由于题中SO＝L＝r，故∠OSO2＝60°，那么电子从点S的发射速度V2的方向与SO所成的夹角α＝30°；图中∠OSO1＝60°，故电子的发射速度V1
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