法向量解立体几何专题训练
一、运用法向量求空间角
1、向量法求空间两条异面直线a, b所成角θ，只要在两条异面直线a, b上各任取一个向量AA'和BB'，则角=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cosθ=
AA'?BB'AA'?BB', 不
需要用法向量。
2、设平面α的法向量为n=（x, y, 1)，则直线AB和平面α所成的角θ的正弦值为sin
AB?n?-θ) = |cos| = 2AB?nθ= cos(
3、 设二面角的两个面的法向量为n1,n2，则
设异面直线a、b的公共法向量为n?(x,y,z)，在a、b上任取一点 A、B，则异面直线a、b的距离d =AB·cos∠BAA＇=2、求点到面的距离
求A点到平面α的距离，设平面α的法向量法为n?(x,y,1)，在α内任取一点B，则A点到平面α的距离为d =
|AB?n| |n||AB?n|，n的坐标由n与平面α内的两个不共线向量的垂直|n|关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设n?(1,y,0)
三、证明线面、面面的平行、垂直关系
设平面外的直线a和平面α、β，两个面α、β的法向量为n1,n2，则
a//??a?n1 a???a//n1
1
?//??n1//n2 ????n1?n2
四、应用举例：
例1：如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C—DE—C1的正切值; (2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.
例2：（高考辽宁卷17）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=600，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。
（1）证明平面PED⊥平面PAB； （2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值
例3：在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP； (Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.
例4：在长、宽、高分别为2，2，3的长方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O与B1C的距离。
DC D1 A1 B1 C1 例5：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，求A1到面BDFE的距离。
AO B
2
新课标高二数学空间向量与立体几何测试题1
一、选择题
1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（ ）
A．60°
B．90°
C．105°
D．75°
2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝
DF1所成角的余弦值是（ ）
A．
A1B1，则BE1与415 17B．
1 2图
8C．
173D．
23．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、
A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）
A．
30 1030 1515 5B．
1 2 C．D．
15 105 525 55 10A1 图 4．正四棱锥S?ABCD的高SO?2，底边长AB?2，则异面直线BD和SC之间的距离（ ）
A．
B．
C ．
D．
5．已知ABC?A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的
中点．点C1到平面AB1D的距离（ ） A．
22322a B．a C．a D．a 4842B1 C1 D
A
B 图
C
6．在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，则平面AB1C与平面A1C1D间的距离 （ ）
A．
3 6B．
3 3C ．
23 3D．
3 27．在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝
1PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥2底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值 （ ）
3
A．
21 6B．
83 3C．
210 60D．
210 308．在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，?ACB?90?，侧棱AA1?2，
D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是?ABD的重心G．则A1B与平面ABD所成角的余弦值
A．
2 3 C．
3 2 D．
3 7（ ）
B．
7 39．正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1?BD?BC，则二面角B1?AD?B的大小（ ）
33，D是CB延长线上一点，且2 A．
? 3B．
?5? C ．
66D．
2? 310．正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，
CD的中点，EF?BD?G．则三棱锥B1?EFD1的体积V
A．
6 6（ ）
B．
16163 C ．
33D．16
二、填空题
11．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，则异面直线D1E和BC1间的距离 ． E为A1B1的中点，12． 在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1、CD的中点，求点B到截
面AEC1F的距离 ．
13．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平
面DBEF的距离 ．
14．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1
所成角的正弦值 ． 三、解答题
15．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大
小
16．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B1MC．
4
17．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角． （1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD； （2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．
18．已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点． （1）求证：E、F、D、B共面；
（2）求点A1到平面的BDEF的距离； （3）求直线A1D与平面BDEF所成的角．
19．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求： （Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小； （Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；
（Ⅲ）异面直线B1D1与BC1之间的距离．
高二数学空间向量与立体几何专题训练2
一、选择题
1．向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a与b共线，则( )
11
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－
2213
C．x＝，y＝－
62
12
D．x＝－，y＝ 63
2．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
5