高中数学新课标讲座之选修2-2导数在函数中的应用 石嘴山市光明中学 高中数学讲座 选修2-2导数在函数中的应用
【热身训练】
22221．（2013年辽宁数学（理））已知函数f(x)?x?2(a?2)x?a，g(x)??x?2(a?2)x?a?8。
设H1(x)?max{f(x),g(x)}，H2(x)?min{f(x),g(x)}，其中max{p,q}）表示p,q中的较大值， min{p,q}表示p,q中的较小值。记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A?B?（ ）
A．a?2a?16 B．a?2a?16 C．－16
22D．16
【答案】C
【解析】f(x)顶点坐标为(a?2,?4a?4)，g(x)顶点坐标(a?2,?4a?12)，并且每个函数顶点
都在另一个函数的图象上，图象如图， A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标， 所以A-B=(?4a?4)?(?4a?12)??16。
【另解】∵f(x)－g(x)＝2x－4ax＋2a－8
2
2
＝2[x－(a－2)][x－(a＋2)]，
?f(x),x?(??,a?2],?∴H1?x?＝?g(x),x?(a?2,a?2],
?f(x),x?(a?2,??],??g(x),x?(??,a?2],?H2?x?＝?f(x),x?(a?2,a?2],
?g(x),x?(a?2,??],?可求得H1(x)的最小值A＝f(a＋2)＝－4a－4，H2(x)的最大值B＝g(a－2)＝－4a＋12， ∴A－B＝－16.
2．（2013年安徽数学（理））若函数f(x)?x?ax?bx?c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1, 则关于x的方程3[f(x)]2?2af(x)?b?0的不同实根个数是（ ） A．3 【答案】A
【解析】f'(x)?3x?2ax?b，x1,x2是方程3x2?2ax?b?0的两根，
由3(f(x))?2af(x)?b?0，则又两个f(x)使得等式成立，x1?f(x1)，
2232 B．4 C．5 D．6
x2?x1?f(x1)，其函数图象如下：
宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习 第 1 页 共 15 页
高中数学新课标讲座之选修2-2导数在函数中的应用 石嘴山市光明中学 如图则有3个交点，故选A。使用代值法。
设f'(x)?3(x?1)(x?2)?3x2?3x?6?f(x)?x3?32x2?6x?c. 令f'(x)?0?x?1,x912??2?f(x1)?x1?c?2， ?f(x)在(??,?2)上单调递增，在(?2，上单调递减，1) 在(1，??)上单调递增，极小值为1。
由f'(f(x))?0?f(x)?x1解得有二个根， f(x)?x2解得有一个根，共3个根，所以选A。
3．（2013年全国大纲版数学（理））若函数f(x)?x2?ax?1x在（12，+∞）是增函数， 则a的取值范围是（ ）
A．[－1，0] B．[－1，+∞） C．[0，3] D．[3，+∞）
【答案】D
【解析】由条件知f′(x)＝2x＋a－
1x2≥0在??1??2,????上恒成立， 即a?1x2?2x在??1?2,?????上恒成立．∵函数y?1x2?2x在??1?2,?????上为减函数， ∴y1max
【答案】D
由已知，[x2f(x)]??ex【解析】x(1)。
x在已知x2f?(x)?2xf(x)?ex中令x?2，
并将f(2)?e28代入，得f?(2)?0；
xf?(x)?ex因为2x?2xf(x)，
两边乘以x后令g(x)?x3f?(x)?ex?2[x2f(x)](2)。
宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习 第 2 页 共 15 页
）
高中数学新课标讲座之选修2-2导数在函数中的应用 石嘴山市光明中学 exx?2x?e， 求导并将（1）式代入，g?(x)?e?2?xx显然x?(0,2)时，g?(x)?0，g(x)减； x?(2,??)时，g?(x)?0，g(x)增； 并且由（2）式知g(2)?0，
所以g(2)?0为g(x)的最小值，即g(x)?0， 所以x3f?(x)?0，在x?0时得f?(x)?0，
所以f(x)为增函数，故没有极大值也没有极小值。
x5．（2013年高考湖北卷（理））已知a为常数,函数f(x)?x(lnx?ax)有两个极值点x1，x2（x1?x2），
则
（ A．f(x11)?0，f(xB．f(x12)??2 1)?0，f(x2)??2 C．f(x11)?0，f(x2)??2
D．f(x11)?0，f(x2)??2
【答案】D
【解析】令f?(x)?1?2ax?lnx?0得0?2a?1，lnxi?2axi?1(i?1,2)。
又f???1??2a???0，?0?x11?1?2a?x2。?f(x1)?x21lnx1?ax21?x1?2ax1?1??ax21?ax1?x1?0，
f(xax22)?2?x2?x2?ax2?1??ax2?1?a?12a?1??12。 故选D。
【相关知识点】函数导数与极值，函数的性质
6．（2013年新课标Ⅱ卷数学（理））已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c，下列结论中错误的是 （ A．?x0?R，f(x0)?0
B．函数y?f(x)的图像是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(??,x0)上单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f'(x0)?0 【解析】A、B、D正确，C错误，故选择C。
解法一：若c?0，则有f(0)?0，所以A正确。 三次函数的图像一定是中心对称图形，所以B正确。 由三次函数的图象可知，若x0是f(x)的极小值点， 则极大值点在x0的左侧，
所以函数在区间（-∞，x0）单调递减是错误的，D正确。 解法二：（一见钟情法）f'(x)?3x2?2ax?b，
若x0是f(x)的极小值点，如图所示，
宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习 第 3 页 共 15 页
）
）
高中数学新课标讲座之选修2-2导数在函数中的应用 石嘴山市光明中学 显然f(x)在区间（??，x0）先增后减，不是单调函数， 因此选项C一定是错误的，不用理踩其它选项了。
7．（2013年高考江西卷（理））若S1?
则S1，S2，S3的大小关系为 A．S1?S2?S3 C．S2?S3?S1
【答案】B
22?1x2dx，S2??121dx，S3??exdx，
1x（ ）
B．S2?S1?S3 D．S3?S2?S1
8．（2013福建数学（理）试题）设函数f(x)的定义域为R，x0(x0?0)是f(x)的极大值点，以下结论一定
正确的是
A．?x?R,f(x)?f(x0) C．?x0是?f(x)的极小值点
【答案】D
（ ）
B．?x0是f(?x)的极小值点 D．?x0是?f(?x)的极小值点
9．（2013年高考北京卷（理））直线l过抛物线C: x=4y的焦点且与y轴垂直, 则l与C所围成的图形的面积等于
A．
2
（ ）
4 3B．2 C．
8 3D．162 3【答案】C
解析：由题意可知，l的方程为y＝1. 如图，B点坐标为(2,1)，
∴所求面积S＝4－2?20?x3?28x2dx＝4－2??|0＝，故选C.
34?12?xk10．（2013浙江数学（理））已知e为自然对数的底数,设函数f(x)?(e?1)(x?1)(k?1,2)，
则 （ ）
A．当k?1时,f(x)在x?1处取得极小值
B．当k?1时,f(x)在x?1处取得极大值
宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习 第 4 页 共 15 页
高中数学新课标讲座之选修2-2导数在函数中的应用 石嘴山市光明中学 C．当k?2时,f(x)在x?1处取得极小值
【答案】C
D．当k?2时,f(x)在x?1处取得极大值
11．（2013湖北理）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v?t??7?3t?25（t1?t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m）是（ ）
11 C. 4?25ln5 D. 4?50ln2 325【解析与答案】令 v?t??7?3t??0，则t?4。汽车刹车的距离是
1?tA. 1?25ln5 B. 8?25ln25??7?3t??dt?4?25ln5，故选C。 ?0?1?t??4【相关知识点】定积分在实际问题中的应用
12．（2013全国大纲文）已知曲线y?x?ax?1在点（－1，a?2 ）处切线的斜率为8，则a?（ ）
A．9
【答案】D
42B．6 C．－9 D．－6
13．（2013湖北文）已知函数f(x)?x(lnx?ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是
A．(??,0)
【答案】B
（ ）
1B．(0,)
2C．(0,1) D．(0,??)
宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习 第 5 页 共 15 页