高中数学新课标讲座之选修2-2导数在函数中的应用 石嘴山市光明中学
32〖例4〗（2013年高考大纲卷（文））已知函数f?x?=x?3ax?3x?1.
(I)求a?2时，讨论f?x?的单调性;;
(II)若x??2,???时，f?x??0,求a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)当a?-2时,f?x?=x3-32x2?3x?1.
f'(x)?3x2?62x?3.
令f'(x)?0,得,x1?2?1,x2?2?1.
'当x?(??,2?1)时,f(x)?0,f(x)在(??,2?1)是增函数; '当x?(2?1,2?1)时,f(x)?0,f(x)在(2?1,2?1)是减函数; '当x?(2?1,??)时,f(x)?0,f(x)在(2?1,??)是增函数;
(Ⅱ)由f(2)?0得,a??当a??5. 45,x?(2,??)时, 451f'(x)?3(x2?2ax?1)?3(x2?x?1)?3(x?)(x?2)?0,
22所以f(x)在(2,??)是增函数,于是当x?[2,??)时,f(x)?f(2)?0. 综上,a的取值范围是[?,??).
（2013广东文）设函数f(x)?x?kx?x（k?R）。 (1) 当k?1时，求函数f(x)的单调区间；
(2) 当k?0时，求函数f(x)在[k，?k]上的最小值m和最大值M。 【解析】f'3254?x??3x2?2kx?1
'(1)当k?1时f?x??3x2?2x?1,??4?12??8?0
?f'?x??0,f?x?在R上单调递增.
（2）当k?0时，f轴x?'?x??3x2?2kx?1，其开口向上，对称
k1? ，且过?0，32（i）当??4k?12?4k?3???k?3??0，即
k -k x?k3宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习 第 11 页 共 15 页 高中数学新课标讲座之选修2-2导数在函数中的应用 石嘴山市光明中学 '?3?k?0时，f?x??0，f?x?在?k,?k?上单调递增，
从而当x?k时，f?x? 取得最小值m?f?k??k ,
当x??k时，f?x? 取得最大值M?f??k???k?k?k??2k?k.
333（ii）当??4k?12?4k?32???k?3??0，即k??'23时，令f?x??3x?2kx?1?0
22k?k?3k?k?3,注意到k?x?x?0,
解得：x1?,x2?2133(注：可用韦达定理判断x1?x2?12k?k,从而k?x2?x1?0；或者由对称结合图像判断) ，x1?x2?33?m?min?f?k?,f?x1??,M?max?f??k?,f?x2??
f?x1??f?k??x13?kx12?x1?k??x1?k??x12?1??0，
32f?x2??f??k??x2?kx2?x2?k3?k3?k 2??x2?k??x2?x2k?k2??k(x2?k)(x2?k)?(x2?k)
2??x2?k??x2?2x2k?k2?1??(x2?k)[(x2?k)2?k2?1]?0。
所以f(x1)?f(k)，f(x2)?f(?k)。
综上所述，当k?0时，f?x?的最小值m?f?k??k,最大值M?f??k???2k?k
3解法2（2）当k?0时，对?x??k,?k?，都有
f(x)?f(k)?x3?kx2?x?k3?k3?k?(x2?1)(x?k)?0，故f?x??f?k?
f(x)?f(?k)?x3?kx2?x?k3?k3?k?(x?k)(x2?2kx?2k2?1)?(x?k)[(x?k)2?k2?1]?0
3故f?x??f??k?，而 f(k)?k?0，f(?k)??2k?k?0
所以 f(x)max?f(?k)??2k3?k，f(x)min?f(k)?k。
【解析】：看着容易，做着难！常规解法完成后，发现不用分类讨论，奇思妙解也出现了： 结合图像感知x?k 时最小，x??k时最大，只需证f?k??f?x??f??k?即可，避免分类讨论. 本题第二问关键在求最大值，需要因式分解比较深的功力，这也正符合了2012年高考年报的 “对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”。
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高中数学新课标讲座之选修2-2导数在函数中的应用 石嘴山市光明中学 ?1x,0?x?a??a（2013江西文）设函数f(x)??，a为 常数且a?（0，1）。
1?(1?x),a?x?1?1?a?（1） 当a?11时，求f(f())； 23（2） 若x0满足f(f(x0))?x0，但f(x0)?x0，则称x0为f(x)的二阶周期点，证明函数f(x)有且仅
有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；
（3） 对于（2）中x1，x2，设A（x1，f(f(x1))），B（x2，f(f(x2))），C(a，0)，记△ABC的面
积为s(a)，求s(a)在区间[
211，]上的最大值和最小值。 321121222时，f()＝,f(f())?f()?2(1?)? 2333333?12x,0?x?a?a2??1(a?x),a2?x?a??a(1?a)（2)f(f(x))?? 1?(x?a),a?x?a2?a?12?(1?a)??1(1?x),a2?a?1?x?1??a(1?a)解：（1）当a=当0?x?a2时，由当a2?x?a时由
1x?x解得x=0,由于f（0）=0,故x=0不是f（x）的二阶周期点； 2a1a(a?x)?x解得x?2?(a2,a),
?a?a?1a(1?a)a1a1a )????2222?a?a?1a?a?a?1?a?a?1?a?a?1a故x?是f（x）的二阶周期点； 2?a?a?1因f(当a?x?a2?a?1时，由
112解得(x?a)?x?(a,a?a?1) x?22?a(1?a)因f(11111故x?不是f（x）的二阶周期点； )??(1?)?2?a1?a2?a2?a2?a当a2?a?1?x?1时，
112 ?(a?a?1,1) (1?x)?x解得x?2?a?a?1a(1?a)因f(111a1 )??(1?)???a2?a?11?a?a2?a?1?a2?a?1?a2?a?1宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习 第 13 页 共 15 页
高中数学新课标讲座之选修2-2导数在函数中的应用 石嘴山市光明中学 故x?1是f（x）的二阶周期点。 2?a?a?1因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，x1?a1，。 x?2?a2?a?1?a2?a?1aa11（3）由（2）得A(2,2),B(2,2)
?a?a?1?a?a?1?a?a?1?a?a?11a2(1?a)1a(a3?2a2?2a?2),s?(a)?? 则s(a)?? 2222?a?a?12(?a?a?1)因为a在[
1111,]内，故s?(a)?0，则s(a)在区间[，]上单调递增， 32321132故s(a)在区间[，]上最小值为s()=1111，最大值为s()= 333220x2（2013广东理）设函数f?x???x?1?e?kx(其中k?R).
(Ⅰ) 当k?1时,求函数f?x?的单调区间；
?1?,1?时,求函数f?x?在?0,k?上的最大值M. ?2?【解析】(Ⅰ) 当k?1时,
(Ⅱ) 当k??f?x???x?1?ex?x2,f??x??ex??x?1?ex?2x?xex?2x?x?ex?2?
令f??x??0,得x1?0,x2?ln2 当x变化时,f??x?,f?x?的变化如下表:
x f??x? f?x? ???,0? ? 0 0 极大值 ?0,ln2? ? ln2 ?ln2,??? ? 0 极小值 右表可知,函数f?x?的递减区间为?0,ln2?,递增区间为???,0?,?ln2,???.
xxxx (Ⅱ)f??x??e??x?1?e?2kx?xe?2kx?xe?2k,
??令f??x??0,得x1?0,x2?ln?2k?, 令g?k??ln?2k??k,则g??k??11?k?1??1??0,所以g?k?在?,1?上递增, kk?2?所以g?k??ln2?1?ln2?lne?0,从而ln?2k??k,所以ln?2k???0,k? 所以当x?0,ln?2k?时,f??x??0；当x?ln?2k?,??时,f??x??0；
????????k3令h?k???k?1?e?k?1,则h??k??k?e?3k?,
kk令??k??e?3k,则???k??e?3?e?3?0
kk3所以M?maxf?0?,f?k??max?1,?k?1?e?k
所以??k?在?3??1???1?,1?上递减,而??????1???e???e?3??0
2??2???2?宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习 第 14 页 共 15 页
高中数学新课标讲座之选修2-2导数在函数中的应用 石嘴山市光明中学 所以存在x0???1??1?,1?使得??x0??0,且当k??,x0?时,??k??0, ?2??2???当k??x0,1?时,??k??0,
所以??k?在?,x0?上单调递增,在?x0,1?上单调递减. 因为h??1?217?1???e??0,h?1??0, ?28?2??1?,1?上恒成立,当且仅当k?1时取得“?”. 所以h?k??0在??2?综上,函数f?x?在?0,k?上的最大值M??k?1?ek?k3. 宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习 第 15 页 共 15 页