高中数学新课标讲座之选修2-2导数在函数中的应用 石嘴山市光明中学
14．（2013浙江文）已知函数y?f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y?f'(x)的图像
如右图所示，则该函数的图像是
A 【答案】B
B
C
D
x)??f(x)，g(?x)?g(x)15．对任意实数x，有f(?A．f?(x)?0，g?(x)?0 C．f?(x)?0，g?(x)?0
，且x?0时，f?(x)?0，g?(x)?0，则x?0时（ ） B．f?(x)?0，g?(x)?0 D．f?(x)?0，g?(x)?0
16．函数y?2x3，当x?0时（ ）
A．有极大值 B．有极小值 C．既无极大值又无极小值 D．无法判定
【知识解读】
（2013年高考湖南卷（理））设函数
f(x)?ax?bx?cx,其中c?a?0,c?b?0.
且a=b?,则(a,b,c)?M所对应的(1)记集合M??(a,b,c)a,b,c不能构成一个三角形的三条边长，f(x)的零点的取值集合为____.
(2)若a,b,c是?ABC的三条边长，则下列结论正确的是______.(写出所有正确结论的序号) ①?x????,1?,f?x??0;
②?x?R,使xa,b,c不能构成一个三角形的三条边长； ③若?ABC为钝角三角形，则?x??1,2?,使f?x??0.
【答案】(1)(0，1] (2)①②③
（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））已知f(x)是定义
xxx在R上的奇函数.当x?0时,f(x)?x?4x,则不等式f(x)?x的解集用区间表示为___________.
【答案】
2??5,0???5,???
a为实常数,y?f(x)是定义在R上的奇函数,当x?0（2013年高考上海卷（理））设
a2?7,若f(x)?a?1对一切x?0成立,则a的取值范围为________ 时,f(x)?9x?x宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习 第 6 页 共 15 页
高中数学新课标讲座之选修2-2导数在函数中的应用 石嘴山市光明中学 【答案】a??8. 71 ．（2013年高考江西卷（理））设函数f(x)在(0,??)内可导,且
【答案】2 2 ．（2013年高考湖南卷（理））若
【答案】3
f(ex)?x?ex,则fx(1)?______________
?T0x2dx?9,则常数T的值为_________.
3．（2013广东理）若曲线y?kx?lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k?______.
【答案】－1
【解析】?1；求导得y??k?1,依题意k?1?0,所以k??1. x24．（2013广东文）若曲线y?ax【答案】
?lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴，则a?_____.
1 2'【解析】依题意y?2ax?1'1,yx?1?2a?1?0,?a?。 x2n5．（2013江西文）若曲线y?x?1(n?R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则n?_____.
[答案]：2 [解析]：y???x【例题示范】
〖例1〗（2013辽宁数学（理））已知函数f?x???1?x?（I）求证：1-x?f?x??e?2x??1，则k??，故切线方程y??x过点（1，2）解得??2
x3,g?x??ax??1?2xcosx.当x??0,1?时，
21; 1?x（II）若f?x??g?x?恒成立，求实数a取值范围. 【解析】（I）解法一:要证x?令h(x)?(1?x)e?x?0,1?时,(1?x)e?2x(1?x)e?x?(1?x)ex ?1?x,即证：时，
?(1?x)ex，则h'(x)?x(ex?e?x)，当x?(0,1)h'(x)?0.可得h(x)在
[0,1]上为增函数，h(x)?h(0)?0.故f(x)?1?x,x?(0,1). 要证f?x??x11?2x22xx，也就是证(1?x)e?，即证(1?x)?e，也就是证e?1?x 1?x1?x'x'令k(x)?e?x?1，则k(x)?e?1,当x?(0,1)时， k(x)?0可得k(x)在[0,1]上为增函数，
k(x)?k(0)?0.故f?x??综上可得1?x?f?x??1 1?x1x?(0,1).
1?x,
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高中数学新课标讲座之选修2-2导数在函数中的应用 石嘴山市光明中学 （I）解法二:要证f(x)?1?x，也就是证(1?x)e?2x?1?x,即证：(1?x)e?2x?1+x?0 令h(x)?(1?x)e?2x?1+x,h'(x)?e?2x?2(1?x)e?2x?1，令?(x)?h'(x)
?'(x)??2e?2x?2[e?2x?2(1?x)e?2x]?4e?2xx，当x??0,1?时，?'(x)?0.即?(x)?h'(x)为增函数，
h'(x)?h'(0)?0，可得h(x)在 [0,1]上为增函数，h(x)?h(0)?0即(1?x)e?2x?1+x?0
故f(x)?1?x； 要证f?x??1，也就是证(1?x)2e?2x?1，即证(1?x)2e?2x?1?0，令u(x)?(1?x)2e?2x?1 1?xu'(x)?2(1?x)e?2x?2(1?x)2e?2x?2e?2x(1?x)(?1?x)，当x??0,1?时，u'(x)?0，可得
u(x)在[0,1]上为减函数，即u(x)?u(0)?0，从而得(1?x)2e?2x?1?0，故f?x??综上可得1?x?f?x??1 1?x1; 1?x?2x（II）f(x)?g(x)?(1?x)ex3?(ax??1?2xcosx)
2x3x2?1?x?ax?1??2xcosx??x(a?1??2cosx)
22x2''设G（x）= ?2cosx,G（x）= x-2sinx，记H（x）?1?2cosx， （x）?x?2sinx.则H2设则（x）?H(0)=0. （x）?x?2sinx是减函数，H当x?(0,1)时，H(x)?0，H'（x）G（x）?0得G?G(0)=2,从而a?1?G(x)?a?3. 为减函数，G（x）即
'所以，当a??3时，f(x)?g(x)在?0,1?恒成立.
下面证明，当a??3时，f(x)?g(x)在?0,1?上不恒成立.
1x3?xx3f(x)?g(x)??(ax??1?2xcosx)??ax??2xcosx
1+x21?x21x21x21??x(?a??2cosx)，令L(x)??a??2cosx??a?G(x)则
1?x21?x21?xL'(x)??1?G'(x),x??0,1?L'(x)?0,故L(x)在?0,1?上是减函数， 2时，(1?x)当
于是L(x)在?0,1?上的值域为?a?1?2cos1,a?3?，
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高中数学新课标讲座之选修2-2导数在函数中的应用 石嘴山市光明中学 当a??3时，a?3?0，所以存在x0??0,1?，使得L(x0)?0, 此时f(x0)?g(x0),即
f(x)?g(x)在?0,1?上不恒成立.
（-?,-3] 综上,实数a的取值范围是
第一问中的解法一采取对已知函数进行分离整理，使得函数的结构变得简单对称，求得导函数也就变得简
单了，但是在解题过程中很难想到。解法二是直接移项构造函数，比较容易想到，但是求出导函数后又变得无从下手，这时候需要二次求导分析来解决。两种解法各有特点。
第二问主要是在第一问的基础上利用不等式进行适当的放缩，转化为另一个函数进行分析解答。 【考点定位】本题考查函数与导数，导数与不等式的综合应用。
〖例2〗（2013安徽理）设数列?an?满足a1?2，a2?a4?8，且对任意n?N*， 函数 f(x)?(an?an?1?an?2)x?an?1?cosx?an?2?sinx满足f'()?0。
?2 （1）求数列?an?的通项公式； （2）若bn?2(an?【解析】
（1）因为f(x)?(an?an?1?an?2)x?an?1?cosx-an?2?sinx，
1)，求数列?bn?的前n项和Sn。 an2?x） 所以f（?an-an?1?an?2-an?1?sinx-an?2?cosx，
f'()?an-an?1?an?2-an?1?0， 所以2an?1?an?an?2， ??an?是等差数列。
?2而a1?2，a3?4，d?1，?an?2?（n-1）?1?n?1
111 ）?（2n?1?）?（2n?1）?ann?1n22211（1-n）（22?n?1）n22 ? Sn?121-2 （2）bn?（2an?
=（nn?3）?1-112?n?3n?1-2n2n【考点定位】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解，并考查逻辑
推理能力和运算能力。
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〖例3〗（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））
已知函数f(x)?ex?ln(x?m)。
（1）设x?0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； （2）当m?2时，证明：f(x)?0。
【解析】（1）因为x?0是f(x)的极值点，所以f'(0)?0。
1110，所以f'(0)?e??1??0，解得m?1。 x?mmm1x因此f(x)?ex?ln(x?1)，f'(x)?e?，定义域为(?1,??)。
x?1又f'(x)?e?x令g(x)?e?xx11x，当x?(?1,??)时，g'(x)?e??0。 x?1(x?1)21在(?1,??)上为增函数。 x?1所以g(x)?e?而g(0)?0 ，所以当x?(?1,0)时，f'(x)?g(x)?g(0)?0， 当x?(0,??)时，f'(x)?g(x)?g(0)?0。
综上所述，函数f(x)在(?1,0)上是减函数，在(0,??)上是增函数。
（2）当m?2，x?(?m,??)时，ln(x?m)?ln(x?2)，故只需证明当m?2时，f(x)?0。
x当m?2时，f(x)?e?ln(x?2)，f'(x)?e?xx1， x?21在(?2,??)上为增函数。 x?211因为f'(?1)??1?0，f'(0)?1??0，
e2
且f'(x)?e?所以f'(x)?0在(?2,??)有唯一实根x0，且x0?（－1，0）。
当x?(?2,x0)时，f'(x)?f'(x0)?0，当x?(x0,??)时，f'(x)?f'(x0)?0。 从而当x?x0时，f(x)取得最小值。 由f'(x0)?0得ex0?1，ln(x0?2)??x0， x0?2(x0?1)21故f(x)?f(x0)??x0??0。
x0?2x0?2综上，当m?2时，f(x)?0。
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