产生背景
16、17世纪，资本主义社会崛起，生产力大大解放，机器化生产逐渐普及，促使科学急速发展。此时初等数学已不能满足社会的需要，于是数学进入了变量数学时期。在这一时期中，虽然出现了解析几何，概率论和射影几何等新的分支，但几乎都被微积分过分强大的光辉掩盖了。其发展之迅猛，内容之丰富，应用之广泛，使人目不暇接。
在这一阶段中，许多科学问题急待解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心和引力计算。牛顿在研究经典力学规律和万有引力定律时,遇到了一些无法解决的数学问题,而这些数学问题用欧几里德几何学和16 世纪的代数学是无法解决的,因此牛顿着手研究新的为求曲率、面积、曲线的长度、重心、最大最小值等问题的方法———流数法。
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酝酿时期
近代微积分的酝酿，主要是在17世纪上半叶这半个世纪，为了理解这一酝酿的背景，
我们首先来简略的回顾一下这一时期自然科学的一般形势和天文、力学等领域发生的重大事件。 首先是1608年，荷兰眼镜制造商里帕席发明了望远镜，不久伽利略将他制成的第一架天文望远镜对准星空，得到了令世人惊奇不已的天文发现。望远镜的发明不仅引起了天文学的新高涨，而且推动了光学的研究。
1638年，伽利略的《关于两门新科学的对话》出版。伽利略建立了自由落体定律、动量定律等，为动力学奠定了基础；他认识到弹道的抛物线性质，并断言炮弹的最大射程应在发射角为45度时达到，等等。伽利略本人竭力倡导自然科学的数学化，他的著作激起了人们对他所确立的动力学概念与定律作精确的数学表述的巨大热情。
开普勒与旋转体体积、卡瓦列里的不可分量原理、笛卡儿“圆法”、费马求极大值与极小值的方法、巴罗“微分三角形”、沃利斯“无穷算数”等均是在微积分酝酿阶段最具有代表性的工作。
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发展历程
（1） 牛顿的微积分
牛顿是那个时代的科学巨人。在他之前，已有了许多积累：哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律--航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，微积分在这样的条件下诞生是必然的。然而当时牛顿在数学方面很大程度是依靠自学的。他学习了欧几里得的《几何原本》、笛卡儿的《几何学》、沃利斯的《无穷算术》、巴罗的《数学讲义》及韦达等许多数学家的著作。其中，对牛顿具有决定性影响的要数笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，它们将牛顿迅速引导到当时数学领域的最前沿----解析几何与微积分。 牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿的《几何学》，对笛卡儿求切线的“圆法”产生兴趣并试图寻找更好的方法。就在此时，牛顿首创了小o记号用来表示x的无限小且最终趋于零的增量。
牛顿的第一个微积分短评是于1669年在《运用无限多项方程的分析学》里给出的。在这部专著里他运用了几何和分析的无穷小量，并通过二项式定理扩展了其适用性。在这篇论文中，牛顿运用了一个无穷小矩形或者面积“瞬”的概念，并且发现了曲线的面积。奥里斯姆、伽利略、笛卡尔以及其他人均通过小单元之和求出总面积，而牛顿则是从单个点的变化率求出了面积。很难确切的指出牛顿是以何种方式看待这个瞬时变化率的。对于一个彻底的经验主义者，数学是一种方法，而不是一种阐释。牛顿显然认为任何质疑运动瞬时性的企图都与形而上学有联系，因此就避免为它下定义。不过他仍然接受了这个概念，并以之作为其第二个以及更多微积分阐释的基础，这从《流数法与无穷级数》中可以看出来。
在这本书里，牛顿介绍了他特有的符号和概念。其中，他认为他的变量产生于点、直线和平面的连续运动，而不是无穷小元素的集合，这种观点也出现在《论分析》里。
牛顿把变化率称为流数，用字母上加点的“标记字母”表示；他称变化的量为流量。牛顿将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关系进而将这两类运算逐步统一成一个整体。
在《曲线求积法》里，牛顿曾尝试消除无穷小量的所有痕迹。他没有将数学量视为由瞬或者很小的部分组成，而是把它们描述为连续的运动，采用最初比和最后比的方法。最初比和最后比的物理原型是初速度与末速度的数学抽象,在物体作位置移动的过程中，每一瞬间具有的速度是自明的,牛顿就是从这个客观事实出发提出了最初比和最后比的直观概念。1687 年牛顿发表了他的划时代的科学名著《自然哲学的数学原理》,流数术(即微积分) 是其三大发现之一。
牛顿继承了培根的经验主义传统,特别重视实验和归纳推理的作用,他曾断言,自然科学只能从经验事实出发解释世界。这在当时对打击经院哲学的崇尚空谈、妄称神意来歪曲自然界是起过积极作用的。
（2） 莱布尼茨的微积分
莱布尼茨是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。
1672年莱布尼茨赴巴黎,在那里接触到惠更斯等一些数学名流,引其进入了数学领域,开始微积分的创造性工作。1675 - 1676 年间,他从求曲边形面积出发得到积分的概念。1684年莱布尼茨发表了数学史上第一篇正式的微积分文献《一种求极限值和切线的新方法》。这篇文献是他自1673年以来对微积分研究的概括与成果,其中叙述了微分学的基本原理, 认为函数的无限小增量是自变量无限小变化的结果,且把这个函数的增量叫做微分,用字母d表示，并得到广泛使用。还给出了和、差、积、商及乘幂的微分法则。同时包括了微分法在求切线、极大值、极小值及拐点
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方面的应用。两年后,又发表了一篇积分学论文《深奥的几何与不变量及其无限的分析》,其中首次使用积分符号“∫”,初步论述了积分(或求积) 问题与微分求切线问题的互逆问题。即今天大
家熟知的牛顿- 莱布尼茨公式
xdx?F()b?F()a?f(),为我们勾画了微积分学的基本雏形和
ab发展蓝图。
牛顿建立微积分是从运动学的观点出发,而莱布尼兹则从几何学的角度去考虑,所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号,并有效地促进了微积分学的发展，特别是和巴罗的“微分三角形”有密切关系,莱布尼茨称它为“特征三角形”。 巴罗的微分三角形对莱布尼兹有着重要启发,对微分三角形的研究,使他意识到求切线和求积问题是一对互逆的问题。莱布尼兹第一个表达出微分和积分之间的互逆关系。 将微分和积分统一起来,是微积分理论得以建立的一个重要标志。
（3） 柯西与魏尔斯特拉斯的贡献
微积分学创立以后，由于运算的完整性和应用的广泛性，使微积分学成为了研究自然科学的有力工具。但微积分学中的许多概念都没有精确严密的定义，特别是对微积分的基础—无穷小概念的解释不明确，在运算中时而为零，时而非零，出现了逻辑上的困境。多方面的批评和攻击没有使数学家们放弃微积分，相反却激起了数学家们为建立微积分的严格而努力。从而也掀起了微积分乃至整个分析的严格化运动。
微积分的严格化工作经过近一个世纪的尝试，到19世纪初已开始显现成效。对分析的严密性真正有影响的先驱则是伟大的法国数学家柯西。柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引进了极限概念,并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的精华,也是柯西对人类科学发展所做的巨大贡献。与此同时，柯西还在此基础上创建了复变函数的微积分理论。
柯西对定积分作了最系统的开创性工作,他把定积分定义为和的“极限”。在定积分运算之前,强调必须确立积分的存在性。他利用中值定理首先严格证明了微积分基本定理。柯西关于分析基础的最具代表性的著作是他的《分析教程》(1821)、《无穷小计算教程》(1823)以及《微分计算教程》(1829)，它们以分析的严格化为目标，对微积分的一系列基本概念给出了明确的定义，在此基础上，柯西严格地表述并证明了微积分基本定理、中值定理等一系列重要定理，定义了级数的收敛性，研究了级数收敛的条件等，他的许多定义和论述已经非常接近于微积分的现代形式。柯西的工作在一定程度上澄清了在微积分基础问题上长期存在的混乱，向分析的全面严格化迈出了关键的一步。
另一位为微积分的严密性做出卓越贡献的是德国数学家魏尔斯特拉斯。魏尔斯特拉斯是一个有条理而又苦干的人，在中学教书的同时，他以惊人的毅力进行数学研究。
魏尔斯特拉斯定量地给出了极限概念的定义，这就是今天极限论中的“ε-δ”方法。魏尔斯特拉斯用他创造的这一套语言重新定义了微积分中的一系列重要概念，特别地，他引进的一致收敛性概念消除了以往微积分中不断出现的各种异议和混乱。
另外，魏尔斯特拉斯认为实数是全部分析的本源，要使分析严格化，就首先要使实数系本身严格化。而实数又可按照严密的推理归结为整数（有理数）。因此，分析的所有概念便可由整数导出。这就是魏尔斯特拉斯所倡导的“分析算术化”纲领。基于魏尔斯特拉斯在分析严格化方面的贡献，在数学史上，他获得了“现代分析之父”的称号。
通过柯西以及后来魏尔斯特拉斯的艰苦工作,数学分析的基本概念得到严格的论述.从而结束微积分二百年来思想上的混乱局面,把微积分及其推广从对几何概念,运动和直观了解的完全依赖中解放出来,并使微积分发展成为现代数学最基础最庞大的数学学科。
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（4） 外国其他人的贡献
在十八世纪，微积分得到进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。在数学史上，18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。
无限小算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。英国的数学家们在剑桥、牛津、伦敦、爱丁堡等著名的大学里教授和研究牛顿的流数术，他们中的优秀代表有泰勒、麦克劳林、棣莫弗、斯特林等。
推广莱布尼茨学说的任务，在从17世纪到18世纪的过渡时期，主要是由雅各布·伯努利和约翰·伯努利担当的，他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容。其中，约翰给出了求未定式极限的一个定理，这个定理后由约翰的学生洛必达编入其微积分著作《无穷小分析》，现在通称为洛必达法则。此外法国数学家罗尔在其论文《任意次方程一个解法的证明》中给出了微分学的一个重要定理，也就是我们现在所说的罗尔微分中值定理。
18世纪微积分最重大的进步是由欧拉作出的。他所发表的《无限小分析引论》、《微分学》、《积分学》称得上是微积分史上里程碑式的著作，在很长时间里被当作分析课本的典范而普遍使用着。除了伯努利兄弟和欧拉，在18世纪推进微积分及其应用贡献卓著的欧陆数学家中，首先应该提到法国学派，其代表人物有克莱洛、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯和勒让德等。在这一时期中，微积分主要在以下几个方面深入发展：积分技术与椭圆积分、微积分向多元函数的推广、无穷级数理论、函数概念的深化以及微积分严格化的尝试。这些数学家虽然不像牛顿、莱布尼茨那样创立了微积分，但他们在微积分发展史上同样功不可没，假如没有他们的奋力开发与仔细耕耘，牛顿和莱布尼茨草创的微积分领地就不可能那样春色满园，相反，也许会变得荒芜凋零。
（5）中国数学家的思想
如果将微积分的发展分为三个阶段：极限概念，求积的无限小方法，积分与微分及其互逆关系。那么最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德等都作出了各自的贡献。然而对于这方面的工作，古代中国是毫不逊色于西方的。极限思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学都不能比拟的。
比如早在公元前7世纪，在我国庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。 公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷，创举世闻名的“大衍求一术”——增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解，比西方早500多年。北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。
特别是13世纪40年代到14世纪初，各主要（数学）领域都达到了中国古代数学的高峰，出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有着微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。
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