15.定义：f1(x)?f(x)，当n?2且n?N时，fn(x)?f(fn?1(x))。对于函数f(x)定义域内的x0，若存在正整数n是使得fn(x0)?x0成立的最小正整数，则称n是点x0的最小正周期，x0称为f(x)的n?周期点。已知定义在[0,1]上的函数f(x)的图象如图，对于函数
?f(x)，下列说法正确的是 （写出所有正确命题的编号）。
①0是f(x)的一个5?周期点； ②3是点
1的最小正周期； 2232； 312③对于任意正整数n，都有fn()?④若x0是f(x)的一个2?周期点，则x0?(,1]；
⑤若x0是f(x)的2?周期点，则f(x0)一定是f(x)的2?周期点。
1?1x?,x?[0,]??22解析：根据函数图象可得f(x)??
1??2x?2,x?(,1]?2?1111?f1(0)??f2(0)?f()?1?f3(0)?f(1)?0?f4(0)?f(0)?∴222211111f5(0)?f()?1，①错误；f3()?f(f2())?f(f(f1()))?，②正确；由函数解析
22222111式，显然③正确；由f2(x0)?x0，当x0?[0,]时，即?2(x0?)?2?x0，解得x0?，
22311④错误；当x0?(,1]时，f2(x0)?x0?(?2x0?2)??x0或?2(?2x0?2)?2?x0，
2252155122解得x0?或x0?，∴f()?,f()?,f()?，⑤正确。
63366333f(0)?
∴说法正确的是②③⑤。
三、解答题（本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16.（本小题满分12分）
锐角?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知ctanB是btanA和btanB的等差中项。
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若m?(sinB,sinC)，n?(cosB,cosC)，求m?n的取值范围。
解析：（Ⅰ）由题意知：btanA?btanB?2ctanB
????sinAsinBsinB?sinB??2sinC?， cosAcosBcosB即sinAcosB?cosAsinB?2sinCcosA
1∴sinC?2sinCcosA，即cosA?
2∴sinB?又0?A??，∴A????3
（Ⅱ）m?n?sinBcosB?sinCcosC?11sin2B?sin2C 22 ?114?3?sin2B?sin(?2B)?sin(2B?) 22326??0?B??2?????∵?0?C?，∴?B?
262?2??B?C??3???3??333?m?n?∴，即m?n的取值范围是(,] 4242
17.（本小题满分12分）
某商场为回馈大客户，开展摸球中奖活动，规则如下：从一个装有质地和大小完全相同的4个白球和1个红球的摸奖箱中随机摸出一球，若摸出红球，则摸球结束；若摸出白球（不放回），则向摸奖箱中放入一个红球后继续进行下一轮摸球，直到摸到红球结束。若大客户在
?第n轮（n?N）摸到红球，则可获得10000?()12n?1的奖金（单位：元）。
（Ⅰ）求某位大客户在一次摸球中奖活动中至少获得2500元奖金的概率；
（Ⅱ）设随机变量?为某位大客户所能获得的奖金，求随机变量?的分布列与期望。
142433101?????? 5555551251（Ⅱ）P(??10000)?
5428P(??5000)???
552543336P(??2500)????
553125432496P(??1250)?????
5555625432124P(??625)?????1?
5555625解析：（Ⅰ）P?∴随机变量?的分布列为
? P 10000 5000 2500 1250 625 8369624 2512562562518369624?2500??1250??625??4526 所以期望E(?)?10000??5000?525125625625
18.（本小题满分12分）
长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2，BC?2，E为CC1中点。 （Ⅰ）求证：平面A1BE⊥平面B1CD；
（Ⅱ）平面A1BE与底面A1B1C1D1所成的锐二面角的大小为?，当求?的取值范围。
1 5210?AB?22时，5
解析：（Ⅰ）在长方体ABCD?A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1
∴CD?BE
又∵E为线段CC1的中点，由已知易得Rt?B1BC∽Rt?BCE
0∴?EBC??BB1C，∴?EBB, ??BBC?9011故BE?B1C，且B1C?CD?C，∴BE⊥平面B1CD 又BE?平面A1BE，∴平面A1BE⊥平面B1CD
（Ⅱ）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设AB?a 则A1(2,0,2)、B(2,a,0)、E(0,a,1) ∴A1B?(0,a,?2)、A1E?(?2,a,?1) 设平面A1BE的法向量为n?(x,y,z)
?a?z?y??ay?2z?02?则?，∴?，不妨令y?1
a??2x?ay?z?0?x?y?22??a,1,)，又底面A1B1C1D1的法向量为m?(0,0,1) ∴n?(222?aa||m?n|2??∴cos????3|m|?|n|1?a28??|1
43?22a又
843210?a?22，∴?a2?8，∴2???2
55a22∴
??11?cos??，∴???
4322
19.（本小题满分13分） 已知函数f(x)?e1?x。 (2ax?a2)（其中a?0）
（Ⅰ）若函数f(x)在(2,??)上单调递减，求实数a的取值范围； （Ⅱ）设函数f(x)的最大值为g(a)，当a?0时，求g(a)的最大值。
解析：（Ⅰ）由f(x)?e1?x(2ax?a2)
得f?(x)?e1?x(2ax?a2)?2ae1?x??e1?x(2ax?a2?2a)?0，又a?0，故x?1?当a?0时，f(x)在(??,1?∴1?a， 2aa)上为增函数，在(1?,??)上为减函数， 22a?2，即a?2，∴0?a?2 2当a?0时，不合题意
故a的取值范围为(0,2]
?a?f(1?)?2a?e2
2a（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当a?0时f(x)max?a2 ?a2即g(a)?2a?e则g?(a)?(2?a)e?0，得a?2
∴g(a)在(0,2)上为增函数，在(2,??)上为减函数， ∴g(x)max?g(2)?4 e
20.（本小题满分13分）
1x2y2椭圆E:2?2?1(a?b?0)的焦距为23，且经过点(3,)
2ab（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过点P(?2,0)分别作斜率为k1、k2的两条直线，两直线分别交椭圆E交于M、N两点，当直线MN与y轴垂直是，求k1?k2的值。
x2?y2?1 解析：（Ⅰ）4（Ⅱ）由题意知，当k1?0时，M点的纵坐标为0，直线MN与y轴垂直，则N点的纵坐标为0
故k2?k1?0，这与k2?k1矛盾。 当k1?0时，直线PM:y?k1(x?2)，