2012·江西卷(数学理科)
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1．[2012·江西卷] 若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
1．C [解析] 考查集合的含义与表示；解题的突破口为列出所有结果，再检验元素的互异性．当x＝－1，y＝0时，z＝－1，当x＝－1，y＝2时，z＝1，当x＝1，y＝0时，z＝1，当x＝1，y＝2时，z＝3，故集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素个数为3，故选C.
2．[2012·江西卷] 下列函数中，与函数y＝1lnxA．y＝sinx B．y＝x sinx
C．y＝xex D．y＝x
2．D [解析] 考查函数的定义域解不等式等；解题的突破口为列出函数解析式所满足的条件，再通过解不等式达到目的．函数y＝13x
1
的定义域为{x|x≠0}．y＝sinx的定13x定义域相同的函数为( )
lnxsinx
义域为{x|x≠kπ}，y＝x的定义域为{x|x>0}，y＝xex的定义域为，y＝x的定义域为{x|x≠0}，故选D.
2
?x＋1，x≤1，
3．[2012·江西卷] 若函数f(x)＝?则f(f(10))＝( )
?lgx，x>1，
A．lg101 B．2 C．1 D．0
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3．B [解析] 考查分段函数的定义对数的运算分类讨论思想；解题的突破口是根据自变量取值范围选择相应的解析式解决问题．∵10>1，∴f(10)＝lg10＝1≤1，
∴f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2，故选B.
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4．[2012·江西卷] 若tanθ＋tanθ＝4，则sin2θ＝( ) 1111A.5 B.4 C.3 D.2
4．D [解析] 考查同角三角函数的关系二倍角公式，以及“1”的代换及弦切互化等方法．解题的突破口是通过“1”的代换，将整式转化为齐次分式，再通过同除以cosθ达tan2θ＋112sinθcosθ2tanθ
到化切目的．∵tanθ＋tanθ＝tanθ＝4，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝2＝2＝sinθ＋cosθtan2θ＋121
4＝2，故选D.
5．[2012·江西卷] 下列命题中，假命题为( ) A．存在四边相等的四边形不是正方形 ．B．z1，z2∈，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数 C．若x，y∈，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1
01nD．对于任意n∈*，Cn＋Cn＋?＋Cn都是偶数
5．B [解析] 考查命题的真假的判断含量词命题真假的判断组合数性质以及逻辑推理能力等；∵菱形四边相等，但不是正方形，∴A为真命题；∵z1，z2为任意实数时，z1＋z2为实数，∴B为假命题；∵x，y都小于等于1时，x＋y≤2，∴C为真命题；∵
12nn*C0n＋Cn＋Cn＋?＋Cn＝2，又n∈，∴D为真命题．故选B.
6．[2012·江西卷] 观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，?，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76 C．123 D．199
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6．C [解析] 考查归纳推理，以及观察能力；解题的突破口是通过观察得到后一项与前两项结果之间的关系．由于a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，?，通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和．因此，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，故选C.
7．[2012·江西卷] 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD|PA|2＋|PB|2
的中点，则|PC|2＝( )
A．2 B．4 C．5 D．10
7．D [解析] 考查向量基本定理向量的线性运算向量的数量积及其应用，考查化归转化能力．解题的突破口是建立平面直角坐标系转化为平面向量坐标运算问题求解，或利用平面向量基本定理，将问题转化为只含基底的两个向量的运算问题求解． →＝1(CA→＋CB→)．→＝1(CA→＋CB→)，
方法一：∵D是AB中点，∴CD∵P是CD中点，∴CP
243→1→→→→1→3→→→→
∴AP＝CP－CA＝－4CA＋4CB，BP＝CP－CB＝4CA－4CB.
→·→＝0，∴AP→2＝9CA→2＋1CB→2，→2＝1CA→2＋9CB→2，CP→2＝1CA→2＋1CB→2，∵CACBBP
161616161616|PA|2＋|PB|2
∴|PC|2＝10.
→→＝2PD→，P→→＝BA→，∴P→→→＋PB→2
方法二：∵D是AB中点，∴PA＋PBA－PBA2＋2PA·PB→2，P→→→＋PB→2＝BA→2，∴2(|PA|2＋|PB|2)＝4|PD|2＋|AB|2.∵D是AB的中点，＝4PDA2－2PA·PB
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|PA|＋|PB|
∴2|CD|＝|AB|.∵P是CD中点，∴|CD|＝2|PC|，∴|PA|2＋|PB|2＝10|CP|2，故|PC|2＝
10.
方法三：以C为坐标原点，AC，BC所在的直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标
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9a2b29b2a210?a＋b??ab??ab?22
系，设A(a,0)，B(0，b)，则D?2，2?，P?，?，|PA|＋|PB|＝16＋16＋16＋16＝，
16???44?2222
a＋b|PA|＋|PB|
而|PC|2＝16，故|PC|2＝10.
8．[2012·江西卷] 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量成本和售价如下表：
黄瓜 韭菜 年产量/亩 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2万元 0.9万元 每吨售价 0.55万元 0.3万元 为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )
A．50,0 B．30,20 C．20,30 D．0,50 8．B [解析] 考查二元一次不等式组表示的平面区域线性规划的实际应用数形结合思想，以及阅读理解和数学建模能力；解题的突破口是按照线性规划解决实际问题的步骤求解，即①设出 xyz；②列出约束条件，确定目标函数；③画出可行域；④判断最优解；⑤求出目标函数的最值，并回到原问题中作答．设种植黄瓜x亩，种植韭菜y?x＋y≤50，1.2x＋0.9y≤54，亩，因此，原问题转化为在条件?
?x≥0，y≥0
下，求z＝0.55×4x
＋0.3×6y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y的最大值．画出可行域如图．利用线性规划知识可知，?x＋y＝50，
当x，y取?的交点(30,20)时，z取得最大值．故选B.
?1.2x＋0.9y＝54
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9．[2012·江西卷] 样本(x1，x2，?，xn)的平均数为x，样本(y1，y2，?，yn)的平均数为y(x≠y)．若样本(x1，x2，?，xn，y1，y2，?，yn)的平均数z＝αx＋(1－α)y，1
其中0<α<2，则n，m的大小关系为( )
A．n
9．A [解析] 考查平均数的计算不等式的性质等；解题的突破口是利用样本平均数的计算公式，建立m，n，α之间的关系后求解．∵z＝
1n(nx＋my)＝ xn＋mn＋mn?n1n1?1－??y，∴＝α，∵0<α<，∴0<<，∴n 图1－1 10．[2012·江西卷] 如图1－2，已知正四棱锥S－ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上下两部分，记SE＝x(0 2012·江西卷(数学理科) 5