2012·江西卷(数学理科)
图1－2
10．A [解析] 考查空间中的线面位置关系的转化空间几何体体积的计算函数的表示法导数的几何意义等，考查分类讨论思想化归转化思想数形结合思想函数与方程思想等；解题的突破口是将所求几何体的体积通过“割补法”求解．设AC，BD交于O，当1E为SC中点时，∵SB＝SD＝BC＝CD，∴SE⊥BE，SE⊥DE，∴SE⊥面BDE.当x＝2时，截面为三角形EBD.
21又∵SA＝SC＝1，AC＝2，SO＝2. 当2≤x<1时，设截面交CD于H，交CB于1?121?2
I，∴V(x)＝VE－CHI＝3?2×?2－2x?2?2(1－x)＝ 3(1－x)3；当0 ??于F，交SB于G，交AD于H，交AB于I，连接SH，SI，由于S五边形EFHIG＝S三角形EFG2 ＋S矩形FHIG＝2x＋22x(1－2x)＝ 22x －32x ，V(x)＝VS－CDHIB－VS－EFHIG＝6(1－ 2 2 12 2x2)－ 3( 22x －32x2)x＝ 2x3－2x2＋6，故选A. 11．[2012·江西卷] 计算定积分?1－1(x2＋sinx)dx＝________. ? 2 11.3 [解析] 考查定积分的计算诱导公式，以及运算能力；解题的突破口是通过基 2012·江西卷(数学理科) 6 2012·江西卷(数学理科) 本初等函数的导数公式的逆向使用确定被积函数的原函数.?1－1(x2＋sinx)dx＝ ? 3 2?x??11?1? ?3－cosx??－1＝－cos1－?－3?＋cos(－1)＝. 33????? 12．[2012·江西卷] 设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________. 12．35 [解析] 考查等差数列的定义性质；解题的突破口是利用等差数列的性质，将问题转化为研究数列的项与项数之间的关系求解． 方法一：设cn＝an＋bn，∵{an}，{bn}是等差数列，∴{cn}是等差数列，设其公差为d，则c1＝7，c3＝c1＋2d＝21，解得d＝7，因此，c5＝a5＋b5＝7＋(5－1)×7＝35.故填35. 方法二：设cn＝an＋bn，∵{an}，{bn}是等差数列，∴{cn}是等差数列， ∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，即42＝7＋(a5＋b5)，因此a5＋b5＝42－7＝35.故填35. x2y2 13．[2012·江西卷] 椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左右顶点分别是A，B，左右焦点分别是F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________． 5 13.5 [解析] 考查椭圆的定义和性质等比数列的性质等；解题的突破口是建立关于a，c的齐次等式，然后转化为离心率e的方程求解．由椭圆的定义知，|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c，∵|AF1|，|F1F2|，|BF1|成等比数列，因此4c2＝(a－c)(a＋c)，5 整理得5c＝a，两边同除以a得5e＝1，解得e＝5. 2 2 2 2 14．[2012·江西卷] 如图1－3为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________． 2012·江西卷(数学理科) 7 2012·江西卷(数学理科) 图1－3 14．3 [解析] 考查算法框图诱导公式特殊角的三角函数值；解题的突破口是列出π 每一次循环后各变量的结果．当k＝1时，此时sin2＝1>sin0＝0成立，因此 a＝1，Tπ ＝0＋1＝1，k＝1＋1＝2，k<6成立，再次循环；因sinπ＝0>sin2＝1不成立，因此a＝0，3π T＝1＋0＝1，k＝2＋1＝3，此时k<6成立，再次循环；因sin2＝－1> sinπ＝0不成立，3π 因此a＝0，T＝1＋0＝1，k＝3＋1＝4，此时k<6成立，再次循环；因sin2π＝0>sin2＝5π －1成立，因此a＝1，T＝1＋1＝2，k＝4＋1＝5，此时k<6成立，再次循环；因sin2＝1> sin2π＝0成立，因此a＝1，T＝2＋1＝3，k＝5＋1＝6，此时k<6不成立，退出循环，此时T＝3. 15．[2012·江西卷] (1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________． (2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________． 15．(1)ρ＝2cosθ [解析] 考查极坐标方程与普通方程的转化；解题的突破口是利用点P的直角坐标(x，y)与极坐标(ρ，θ)的关系转化．由于ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，因此x2＋y2－2x＝0的极坐标方程为ρ＝2cosθ. ???33(2)?x?－2≤x≤2??? ?? ? ?? [解析] 考查绝对值不等式的解法，以及分类讨论思想；解题的 1 突破口是利用零点讨论法去掉绝对值符号，将不等式转化为一般不等式(组)求解．当x>2 2012·江西卷(数学理科) 8 2012·江西卷(数学理科) 3131 时，原不等式可化为2x－1＋2x＋1≤6，解得x≤2，此时2 式可化为－2x＋1－2x－1≤6，解得x≥－2，此时－2≤x<－2；当－2≤x≤2时，原不等11?33?式可化为1－2x＋2x＋1≤6，解得x∈，此时－2≤x≤2.综上，原不等式的解集为?－2，2?. ?? 1 16．[2012·江西卷] 已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋kn(其中k∈*)，且Sn的最大值为8. (1)确定常数k，并求an； ??9－2an??(2)求数列?n?的前 ?2??? n项和Tn. 111 16．解：(1)当n＝k∈＋时，Sn＝－2n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－2k2＋k2＝2k2， 故k2＝16，因此k＝4， 979从而an＝Sn－Sn－1＝2－n(n≥2)，又a1＝S1＝2，所以an＝2－n. 9－2ann (2)因为bn＝2n＝n－1， 2 n－123n Tn＝b1＋b2＋?＋bn＝1＋2＋22＋?＋n－2＋n－1， 22 n＋211n1n 所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋2＋?＋n－2－n－1＝4－n－2－n－1＝4－n－1. 22222 π 17．[2012·江西卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝4，?π??π? bsin?4＋C?－csin?4＋B?＝a. ???? π(1)求证：B－C＝2； (2)若a＝2，求△ABC的面积． 2012·江西卷(数学理科) 9 2012·江西卷(数学理科) ?π??π? ＋C?－csin?4＋B?＝a，应用正弦定理，得 17．解：(1)证明：由bsin?4?????π??π? sinBsin?4＋C?－sinCsin?4＋B?＝sinA， ???? 2?2??2?22 sinB?sinC＋cosC?－sinC?sinB＋cosB?＝2. 22?2??2?整理得sinBcosC－cosBsinC＝1， 即sin(B－C)＝1， 3π 由于0 π3π5ππ (2)由(1)知B－C＝2，又B＋C＝π－A＝4，因此B＝8，C＝8. πasinB5πasinCπ 由a＝2，A＝4，得b＝sinA＝2sin8，c＝sinA＝2sin8， 15ππππ1所以△ABC的面积S＝2bcsinA＝2sin8sin8＝2cos8sin8＝2. 图1－4 18．[2012·江西卷] 如图1－4，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0，0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)． (1)求V＝0的概率； (2)求V的分布列及数学期望EV. 318．解：(1)从6个点中随机取3个点总共有C6＝20种取法，选取的3个点与原点 2012·江西卷(数学理科) 10