习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示
三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表： 0 X 1 2 3 Y 1 0 0 C13?12?11321112?2?C83?2?2?2?3/83 10 0 182?12?12?
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表： 0 X 1 2 3 Y 0 0 0 C223?C23C3C1C4?3?24?735C71 0 C112211313?C2?C2C63?C2?C2C123?CC4?C4?24?735735C72 P(0黑,2红,20 白)= C13?C22?C12C623?C223C4?4?735C735C22?C22/C47?135
3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
?F（x，y）=??sinxsiny,0?x?ππ?2,0?y?2
?0,其他.求二维随机变量（X，Y）在长方形域
???0?x?πππ?4,6?y?3??内的概率.
【解】如图P{0?X?πππ4,6?Y?3}公式(3.2) F(π4,π3)?F(π4,π6)?F(0,π3)?F(0,π6)
?sinππ4?sin3?sinπ4?sinπ6?sin0?sinπ3?sin0?sinπ6
?24(3?1).
题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度
f（x，y）=??Ae?(3x?4y),x?0,y?0,?0,其他.
求：（1） 常数A；
（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【
解
】（
1
） 由
?????????y)?????f(x,y)dxdy??-(3x?40?0Aedxdy?A12?1 得 A=12? （2） 由定义，有 x
F(x,y)??y?????f(u,v)dudv
???yy?(3u?4v)??0?012edudv???(1?e?3x)(1?e?4y)y?0,x?0,??0,?0,其他(3) P{0?X?1,0?Y?2}
?P{0?X?1,0?Y?2}??1?(3x?4y)0?2012edxdy?(1?e?3)(1?e?8)?0.9499.
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
18235235?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,f（x，y）=?
其他.?0,（1） 确定常数k； （2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有
求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.
题6图
2??????????f(x,y)dxdy??0?42k(6?x?y)dydx?8k?1,
【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
故
R?
1
? 8
1????（2）
P{X?1,Y?3}??13?3?1?,0?x?0.2, fX(x)??0.2?其他.?0,f(x,y)dydx
而
13???k(6?x?y)dydx?
0288所以
?5e?5y,y?0,fY(y)??
其他.?0,(3)
P{X?1.5}?x?1.5??f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy
D11.54
f(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y)
??dx?02127(6?x?y)dy?. 832(4)
?1?5e?5y?25e?5y,0?x?0.2且y?0,? ??0.2??其他.?0,??0,(2)
P{X?Y?4}?X?Y?4??f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy
D24?xP(Y?X)?y?x??f(x,y)dxdy如图??25eD?5ydxdy
??dx?02212(6?x?y)dy?. 83
??dx?25e-5ydy??(?5e?5x?5)dx0000.2x0.2
=e-1?0.3679.7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
?(1?e?4x)(1?e?2y),x?0,y?0,F（x，y）=?
其他.?0,
题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
【
求（X，Y）的联合分布密度.
解
】
?5e?5y,y?0,fY（y）=?
其他.?0,?2F(x,y)?8e?(4x?2y),x?0,y?0, f(x,y)????x?y其他.?0,8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
x，y）=??4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,f（0,
?其他.求边缘概率密度. ??【解】
fX(x)????f(x,y)dy
=????x(2?x)dy??2.4x204.8y(2?x),0?x?1, ???0,?0,其他.??
fY(y)????f(x,y)dx
?1=???y4.8y(2?x)dx????2.4y(3?4y?y2),0?y?1,?0,?0,其他.
题8图 题9图
9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??e?y,0?x?y,?0,其他.
求边缘概率密度. 【解】
fX(x)??????f(x,y)dy
???y?x
=????xedy????e,x?0, ?0,?0,其他.f????Y(y)??f(x,y)dx
=????y?y?x
0edx??ye,y???0, ?0,?0,其他.
题10图
10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??cx2y,x2?y?1,?0,其他.
（1） 试确定常数c； （2） 求边缘概率密度.
????【解】（1）
??????f(x,y)dxdy如图??f(x,y)dxdy
D
=?1dx?14-1x2cx2ydy?21c?1. 得?c?214. f??(2)
X(x)????f(x,y)dy
?????121?212x24x2ydy4??x(1?x),?1?x?1, ???0,?8?0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx
??????y212ydx??75?yxy2,0?y?1,?4??0,?2?0, 其他.11.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??1,y?x,0?x?1,?0,其他.
求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.
2 0 11223 ?? 33C510C510100 3 0 111 ? 2C51010
题11图
【解】
fX(x)????P{Y?yi} 1 10
(2)
3 106 10 ??f(x,y)dy
x????x1dy?2x,0?x?1, ???其他.?0,因
P{X?1}?P{Y?3}?故X与Y不独立?
fY(y)???????11dx?1?y,?1?y?0,???y??1f(x,y)dx???1dx?1?y,0?y?1, y?其他.?0,??6161????P{X?1,Y?3},10101001013.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 Y 0.4 0.8 X 2 5 8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 所以
（1）求关于X和关于Y的边缘分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1）X和Y的边缘分布如下表? 0.4 0.8 ?1f(x,y)?,|y|?x?1, fY|X(y|x)???2xfX(x)?其他.?0,
Y X 2 0.15 0.05 0.2 5 0.30 0.12 0.42 8 0.35 0.03 0.38 P{Y=yi} 0.8 0.2 ?1?1?y, y?x?1,?f(x,y)?1fX|Y(x|y)???,?y?x?1,
fY(y)?1?y?0,其他.??12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中
最小的号码为X，最大的号码为Y. （1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1） X与Y的联合分布律如下表 P{X?xi} (2)
因
P{X?2}?P{Y?0.4}?0.2?0.8?0.16?0.15?P(X?2,Y?0.4),
故X与Y不独立.?
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
X 1 Y 3 4 5 P{X?xi}
1??e?y/2,fY（y）=?2??0,（1）求X和Y的联合概率密度；
y?0,其他.
1122336 ??? 333C510C510C51010（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
【解】（1） 因
?1,0?x?1, fX(x)????0,其他;y?1?2?e,y?1, fY(y)???2?0,其他.?（2） 当0 1000）(如图a) z故 FZ(z)???y??1?y/2?exz6??yz10106dxdy??103dy?322dx 2210xyxyz0?x?1,y?0,36f(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y)???2?0,其他. 题14图 (2) 方程 a2?2Xa?Y?0有实根的条件是 ??(2X)2?4Y?0 故 X2≥Y， 从而方程有实根的概率为： P{X2?Y}???f(x,y)dxdy x2?y ??1dx?x21?y002e/2dy?1?2?[?(1)??(0)] ?0.1445.15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为 ?f（x）=?1000?x2,x?1000, ??0,其他.求Z=X/Y的概率密度. 【解】如图,Z的分布函数FZ(z)?P{Z?z}?P{XY?z} (1) 当z≤0时，FZ(z)?0 ?? =??1010?z103??y2?3?dy?zzy ?2 题15图 (3) 当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b） FZ(z)???106x2y2dxdy????zy106103dy?103y?xx2y2dx z =????103106?1103??y2?zy3?dy?1?z ?2即 ??1?12z,z?1,?f???zZ(z)2,0?z?1, ???0,其他.?故 ??12z2,z?1,?f(z)???1Z,0?z?1, ?2?其他?0,.?16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202） 分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则Xi~N（160，202），