从而
kP{min(X1,X2,X3,X4)?180}Xi之间独立P{X1?180}?P{X2?180}
??P(X?i)?P{Y?k?i}
i?0k?n?in?i?n?k?in?k?i????pq??pqP{X3?180}?P{X4?180}
i?0?i??k?i?
k ?n??n?k2n?k??????pqiXk?i??0P?{???[1?P{X1?180}]?[1?P{X2?180}]?[1?P{X3?180}]?[1i?4?180}] ?2n?k2n?k ???pq?k?4??180?160???[1?P{X1?180}]4??1???方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），??
20????则
?[1??(1)]?(0.158)?0.00063.17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为
P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…， P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….
证明随机变量Z=X+Y的分布律为
44X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′, X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,
所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布. 19.设随机变量（X，Y）的分布律为 P{Z=i}=
?p(k)q(i?k)，i=0，1，2，….
k?0iY 0 1 2 X 0 1 2 3
4 5 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，
所以
{Z?i}?{X?Y?i}
3
?{X?0,Y?i}?{X?1,Y?i?1}???{X?i,Y?0} 于是
(1) 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}； （2） 求V=max（X，Y）的分布律；
i（3） 求U=min（X，Y）的分布律； （4） 求W=X+Y的分布律.
P{Z?i}??P{X?k,Y?i?k}X,Y相互独立k?0?P{X?k}?P{Y?i?k}
k?0i【解】（1）P{X?2|Y?2}?P{X?2,Y?2}
P{Y?2}
??p(k)q(i?k)
k?0i?P{X?2,Y?2}?P{X?i,Y?2}i?05?0.051?,
0.25218.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分
布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布. 【证明】方法一：X+Y可能取值为0，1，2，…，2n.
P{Y?3|X?0}?
P{Y?3,X?0}
P{X?0}P{X?Y?k}??P{X?i,Y?k?i}
i?0k?P{X?0,Y?3}?P{X?0,Y?j}j?030.011??; 0.0332
）
题20图
【解】因（X，Y）的联合概率密度为
（
P{V?i}?P{max(X,Y)?i}?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i}
?1222?2,x?y?R, f(x,y)??πR?其他.?0,
i?1i??P{X?i,Y?k}??P{X?k,Y?i},
k?0k?0i?0,1,2,3,4,5
所以V的分布律为 V=max(X,Y) 0 1 2 3 4 5 P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28
(3)
P{U?i}?P{min(X,Y)?i}
?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i}3??P{X?i,Y?k}?k?ik?5P{X?k,Y?i}
?i?1i?0,1,2,3,
于是 U=min(X,Y) 0 1 2 3 P 0.28 0.30 0.25 0.17 (4)类似上述过程，有 W=X+0 1 2 3 4 5 6 7 8 Y P 0 0.00.00.10.10.20.10.10.02 6 3 9 4 9 2 5 20.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布.
（1） 求P{Y＞0｜Y＞X}； （2） 设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.
（1）P{Y?0|Y?X}?P{Y?0,Y?X}P{Y?X}
y??f(x,y)d?
y???0x??f(x,y)d?
y?xπd?
??R1π/40πR2rdr?5 ?4πR1π/4d??0πR2rdr
?3/831/2?4; (2)
P{M?0}?P{max(X,Y)?0}?1?P{max(X,Y)?0}
?1?P{X?0,Y?0}?1???f(x,y)d??1?1x4?34. y??0021.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？
题21图
??e2【解】区域D的面积为
S1201dx?lnxex1?2.（X,Y）
的联合密度函数为
1?12,1?x?e,0?y?,?f(x,y)??2x
??0,其他.（X，Y）关于X的边缘密度函数为
即
111???P{X?x1,Y?y3}, 4248?x1,Y?y3}?1. 12P{?3 8,
故
从而P{X1?1/x1dy?,1?x?e2,??0 fX(x)??22x?其他.?0,所以
同理
21?Y }21fX(2)?.
4P{X?x2,Y?y2}?322.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联
合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. 又
?P{Y?y}?1jj?1X x1 x2 P{Y=yj}=pj
Y y1 y2 y3 1/8 1/8 1/6 P{X=xi}=pi 111P{Y?y3}?1???.
623同理P{X1 3?x2}?.
4【解】因P{Y?yj}?Pj??P{X?xi,Y?yj},
i?12从而
故
11P{X?x2,Y?y3}?P{Y?y3}?P{X?x1,Y?y3}??312故
P{Y?y1}?P{X?x1,Y?y1}?P{X?x2,Y?y1},从而P{X?x1,Y?y1}?与
Y
111??. 6824独
立
，
故
而X
P{X?xi}?P{Y?yj}?P{X?xi,Y?yi},
从
而
X Y y1 y2 y3 P{X?xi}?Pi x1 111 2481214 11P{X?x1}??P{X?x,Y?y}?.
624即：P{Xx2 11 83 814 341 1 ?x1}?111/?. 2464
又
P{Y?yj}?pj 1 612 1 3P{X?x1}?P{X?x1,Y?y1}?P{X?x1,Y?y2}?P{X?x1,Y?y3},
23.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘
客在中途下车的概率为p（0 以Y表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布. 【 解 】 (1) ?1?, 0?y?3, f(y)??3??0, y?0,y?3.因为X，Y相互独立，所以 mn?mP{Y?m|X?n}?Cm,0?m?n,n?0,1,2,?np(1?p). (2) P{X?n,Y?m}?P{X?n}?P{Y?m|X?n} ?1?, 0?x?3,0?y?3, f(x,y)??9??0, x?0,y?0,x?3,y?3. 推得 P{max{X,Y}?1}?1. 9?Cp(1?p)mnmn?me??n??,n?m?n,n?0,1,2,?. n!26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为 2??124.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~??0.30.7??， ??而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为 Y ??1 0 1 X ??1 0 1 a 0 0.2 0.1 b 0.2 0 0.1 c 其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)=??0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，记Z=X+Y.求： G(u)?P{X?Y?u}?0.3P{X?Y?u|X?1}?0.7P{X?Y?u|X?2} （1） a,b,c的值； （2） Z的概率分布； （3） P{X=Z}. 解 (1) 由概率分布的性质知， a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由 ?0.3P{Y?u?1|X?1}?0.7P{Y?u?2|X?2} 由于X和Y独立，可见 G(u)?0.3P{Y?u?1}?0.7P{Y?u?2} E(X)??0.2，可得 ?a?c??0.1. ?0.3F(u?1)?0.7F(u?2). 再由 由此，得U的概率密度为 g(u)?G?(u)?0.3F?(u?1)?0.7F?(u?2) P{Y?0X?0}?, P{X?0,Y?0}a?b?0.1??0.5P{X?0}a?b?0.5a?b?0.3. ?0.3f(u?1)?0.7f(u?2). 25. 25. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P{max{X,Y}≤1}. 解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有 得 解以上关于a，b，c的三个方程得 a?0.2,b?0.1,c?0.1. (2) Z的可能取值为?2，?1，0，1，2， ?1?, 0?x?3, f(x)??3??0, x?0,x?3;P{Z??2}?P{X??1,Y??1}?0.2， P{Z??1}?P{X??1,Y?0}?P{X?0,Y??1}?0.1， P{Z?0}?P{X??1,Y?1}?P{X?0,Y?0}?P{X? 1,Y?0.30.501, ? ? 1 } ?， P{Z?1}?P{X?1,Y?0}?P{X?0,Y?1}?0.3， D(X)??[xi?E(X)]2Pi i?05 P{Z?2}?P{X?1,Y?1}?0.1， 即Z的概率分布为 Z P ?2 ??1 0 1 2 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 (3) ?(0?0.501)2?0.583?(1?0.501)2?0.340???(5?0.501?0.432.3.设随机变量X的分布律为 X P ??1 0 1 p1 p2 p3 且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3. 【解】因PP{X?Z}?P{Y?0}?0.1?b?0.2?0.1?0.1?0.2?0.41?P2?P3?1……①, .习题四 1.设随机变量X的分布律为 X ??1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求E（X），E（X2），E（2X+3）. 【 解 】 (1) 又 E(X)?(?1)PPP1?0?2?1?3?P3?P1?0.1……②, 22E(X2)?(?1)2?PPP1?0?2?1?3?P1?P3?0.9……③? 由①②③联立解得P1?0.4,P,P2?0.13?0.5. 11111E(X)?(?1)??0??1??2??; 82842(2) 4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问 从袋中任取1球为白球的概率是多少？ 【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则 11115E(X2)?(?1)2??02??12??22??; 82844(3) P(A)全概率公式?P{A|X?k}?P{X?k} k?0N1E(2X?3)?2E(X)?3?2??3?4 2 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为 X 0 P 1 2 3 4 5 k1??P{X?k}?Nk?0N1n??E(X)?.NN5.设随机变量X的概率密度为 N?kP{X?k}k?0N 514233241CC5CCCCCCCC901090109010901090?0.583?0.340?0.070?0.007?5100?055555C100C100C100C100C100C100故 ?x,0?x?1,?f（x）=?2?x,1?x?2, ?0,其他.?求E（X），D（X）. 解 】 E(X)?0.58?3?00.3?4?010.?0?702?0.?00?7?3?04【