从而
?XY?Cov(X,Y)?D(X)?D(Y)?13611?1818??1 219.设（X，Y）的概率密度为
ππ?1sin(x?y),0?x?,0?y?,?f（x，y）=?222
?其他.?0,求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY.
【解】E(X)???????????xf(x,y)dxdy??π202π/20dx?π/201πx?sin(x?y)dy?. 24
E(X)??dx?从而
2π201π2πx?sin(x?y)dy???2.
282π2πD(X)?E(X)?[E(X)]???2.
16222同理
ππ2πE(Y)?,D(Y)???2.
4162又
E(XY)??π/20dx?π/20πxysin(x?y)dxdy??1,
22?π?ππ?π?4?故 CovX(Y,?)EXY(?)E(X?)EY(??)???1??????2?44?4?2
.?XY??π?4????Cov(X,Y)(π?4)2π2?8π?164???2??2??2.
ππ?8π?32π?8π?32D(X)?D(Y)π??216220.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为?【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.
从而
?11?，试求Z1=X??2Y和Z2=2X??Y的相关系数. ??14?D(Z1)?D(X?2Y)?D(X)?4D(Y)?4Cov(X,Y)?1?4?4?4?1?13,D(Z2)?D(2X?Y)?4D(X)?D(Y)?4Cov(X,Y)?4?1?4?4?1?4,Cov(Z1,Z2)?Cov(X?2Y,2X?Y)
?2Cov(X,X)?4Cov(Y,X)?Cov(X,Y)?2Cov(Y,Y)
?2D(X)?5Cov(X,Y)?2D(Y)?2?1?5?1?2?4?5.故
?ZZ?12Cov(Z1,Z2)55??13.
D(Z1)?D(Z2)13?426［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）.
21.对于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）存在，证明：
这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy??Schwarz）不等式. 【证】令
显然
g(t)?E{[V?tW]2},t?R.
0?g(t)?E[(V?tW)2]?E[V2?2tVW?t2W2]
?E[V2]?2t?E[VW]?t2?E[W2],?t?R.
可见此关于t的二次式非负，故其判别式Δ≤0， 即0???[2E(VW)]2?4E(W2)?E(V2)
?4{[E(VW)]2?E(V2)?E(W2)}.
2故[E(VW)]?E(V2)?E(W2)}.
22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况
下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）.
【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X~E(λ),E(X)=
1?=5.
依题意Y=min(X,2). 对于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0. 对于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.
对于0≤y<2,当x≥0时，在(0,x)内无故障的概率分布为 P{X≤x}=1??e??λx,所以
F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1??e??y/5.
23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品
放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解】（1） Z的可能取值为0，1，2，3，Z的概率分布为
k?kC3?C33P{Z?k}?C36,
k?0,1,2,3.
2 3 Z=k Pk 0 1 1 209 209 201 20因此，E(Z)?0?19913?1??2??3??. 202020202(2) 设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有
P(A)??P{Z?k}?P{A|Z?k}
k?03
?19192131?0???????. 20206206206424.假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ,1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.
销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系
若X?10,??1,?T=?20,若10?X?12, ??5,若X?12.?问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？
【解】
E(T)??P{X?10}?20P{10?X?12}?5P{X?12}
??P{X?u?10?u}?20P{10?u?X?u?12?u}?5P{X?u?12?u} ???(10?u)?20[?(12?u)??(10?u)]?5[1??(12?u)]?25?(12?u)?21?(10?u)?5.
故
dE(T) 令 ?25?(12?u)?(?1)?21?(10?u)?(?1)0(这里?(x)?du得 两边取对数有
1?x2/2e), 2?25e?(12?u)2/2?21e?(10?u)2/2?
11ln25?(12?u)2?ln21?(10?u)2.
22解得
1251u?11?ln?11?ln1.19?10.9128(毫米)?
2212由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大. 25.设随机变量X的概率密度为
1x??cos,0?x?π,f(x)=?2 2?其他.?0,对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，求Y2的数学期望. （2002研考）
π?1,X?,??3【解】令 Yi???0,X?π.?3?则Y(i?1,2,3,4)
??Yi~B(4,p).因为
i?14π/31πππx1p?P{X?}?1?P{X?}及P{X?}??cosdx?0333222,
所以E(Yi)111?,D(Yi)?,E(Y)?4??2, 24211D(Y)?4???1?E(Y2)?(EY)2,
22从而E(Y2)?D(Y)?[E(Y)]2?1?22?5.
26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停
用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学期望E（T）及方差D（T）. 【解】由题意知：
?5e?5t,t?0,fi(t)??
t?0.?0,因T1,T2独立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t). 当t<0时，fT(t)=0;
当t≥0时，利用卷积公式得
fT(t)??故得
????f1(x)?f2(t?x)dx??5e?5x?5e?5(t?x)dx?25te?5t0t
?25te?5t,t?0, fT(t)??t?0.?0,由于Ti ~E(5),故知E(Ti)=
11,D(Ti)=?(i=1,2) 525因此，有E(T)=E(T1+T2)=
25.
又因T1,T2独立，所以D（T）=D（T1+T2）=
2. 2527.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X??Y|的方差.
??1?2???1?2?【解】设Z=X??Y，由于X~N?0,?, ?,Y~N?0,?????2?????????2??且X和Y相互独立，故Z~N（0，1）. 因
D(X?Y)?D(Z)?E(|Z|2)?[E(|Z|)]2
而
2???E(Z2)?[E(Z)]2,
E(Z)?D(Z)?1,E(|Z|)??|z|??1?z2/2edz 2π
2???z2/22?zedz??π2π0，
所以
D(|X?Y|)?1?2. π28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0 机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求E（X）和D（X）. 【解】记q=1??p,X的概率分布为P{X=i}=qi??1p,i=1,2,…， ?q??p1??. 故E(X)??iqp?p(?q)??p??2pi?1i?1?1?q?(1?q)?i?1?i又E(X2)??iqp??(i?i)qp??iqi?1p 2i?12i?1i?1i?2i?1???? ?q2???11?pq(?q)????pq???p1?qp i?2??2pq11?q2?p???2?2.(1?q)3pppi所以 D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2?p11?p?2?2. 2ppp 题29图 29.设随机变量X和Y的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变