西安石油大学本科毕业设计（论文）
3 中频感应加热炉温度控制系统的数学建模
3.1 中频感应加热炉温度控制系统的结构
中频感应加热炉的温度控制系统由对象、测量变送器、PLC控制器及变频电源组成，其中，对象细分为：感应线圈和被加热材料。中频感应加热炉温度控制系统的各环节组成如图3-1所示。
扰动给定扰动（涡流）扰动P材料（自发热）?-偏差控制器2U电P0线B2材料 IWq扰动扰动W源圈QW材料I材料（自发热）（热导）T检测变送 图3-1 中频感应加热炉温度控制系统的系统框图
各环节的说明：
1. 控制器：其输入信号为偏差值而其输出为控制电压，他通过分析偏差信号从而输出相应的控制电压信号；
2. 电源：其输入为控制器的控制电压信号，输出为变频电源输出功率，他的作用是接收控制电压信号输出相应的功率；
3. 线圈：是电源的负载，其输入信号为电源的输出功率信号，输出为线圈产生的磁感应强度的平方，他是由于通电而发生电磁感应现象在炉膛内产生磁感应强度为B的电磁场；
4. 材料(涡流)：其输入信号为线圈产生磁场的磁感应强度的平方，而输出信号为被加热材料表面电涡流的平方，他是由于在线圈产生的磁场中，距材料本身表面深度为?的区域形成涡旋电流。
5. P材料（自发热）：其输入信号为被加热材料电涡流的平方，输出信号为被加热材料的热功率，他表示单位时间内材料表面有涡流的区域吸收的热量；
6. I材料（自发热）：其输入信号为热功率，输出信号为材料发热量，他表示在加热时间内材料所吸收的所有热量；
7. 材料（热导）：其输入信号为材料发热量而输出信号为被加热材料的出口温度，他的作用是被加热材料表芯温度传导。
8. 检测变送:其输入信号为材料的出口温度输出信号为1-5V的电流信号，通过
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这个环节把温度转化成电流信号与给定电压信号作比较产生偏差作为控制器的输入信号。
从图中可以看出，中频感应加热炉的温度控制系统是把给定信号与检测信号的差值输入PLC控制器，通过控制器输出相应的控制电压信号使电源输出相应的输出功率，电源把这个功率信号输出到线圈上使线圈产生感应强度为B的磁场，被加热材料在线圈的磁场中产生涡流，从而发热使材料自身表面温度升高，再通过热传递的方式向内部进行透热，这样加热就成功了。在加热炉的出口上有检测温度的装置并把检测出来的信号与给定信号比较。研究这个系统的数学模型也就是按这样过程来分析的，目的就是确定这些环节间的关系。
为简化计算图中的令控制器的传递函数为GC(s)，而电源部分可以看做是一个比例环节。加在线圈上的扰动为其阻率随温度的变化，是可以忽略的。加在被加热材料（涡流）上的扰动为材料的长度、外径误差及形状等，本次不做详细分析。但需要分析其电阻率随温度的变化对系统产生的影响。被加热材料（自发热）P上要考虑材料电阻随温度的变化而变化，I材料（自发热）环节上的扰动为被加热材料的传送速度，材料（热导）环节要考虑材料的比热随温度的变化。而由于在加热炉的后半段是保温的时间，这个时间里并没有加热，只是在进行透热使被加热材料的表芯温度接近。系统数学模型就是以这个框图为基础进行分析的。
3.2 加热炉感应线圈的数学模型
3.2.1 温度对加热炉感应线圈电阻的影响
感应线圈是感应加热炉的重要组成部分，它是由截面积为A，长度为b的铜导线按一定的半径绕成的。感应线圈本身有电阻RX，所以会发热，温度自然就会升高。温度升高会使电阻发生变化，相应的发热量就不一样了。但是因为线圈与外环境进行了热交换所以上升的温度有待讨论，若线圈上升的温度对其电阻率的影响几乎可以忽略那么我们就可以不考虑温度变化对线圈电阻的影响。
电阻随温度的变化对感应线圈的影响到底有多大，我们可以进行讨论。 首先我们只针对电源对线圈做的功，线圈在T0温度下的RX与在T温度下的RX相差多少，是否可以忽略不计。
电源对线圈做功为[1]：
2UOt Q1? (3.1)
Rx也可以表示为[8]： Q1?C1m1?T?T0? (3.2)
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结合(3.1)式和(3.2)式可得：
2UOt T?T0? (3.3)
RxC1m1其中：Q1---为感应线圈吸收的热量， C1---为铜导线的比热容， m1---为线圈的质量， T0---为环境的温度， T---线圈升高的温度， RX---为线圈的电阻， UO---为电源的输出电压， t---加热的时间。 根据电阻的计算公式：
R??b (3.4)
XA因为电阻率是随温度变化的，并且有[13]：
???01?1??T? (3.5) 其中?为线圈的电阻率；?01为室温下铜的电阻率；?为铜材料的电阻温度系数。下表给出了一些材料的室温电阻率及温度系数：
表3-1 几种金属材料的室温电阻率及温度系数[14] 金属材料名称 铜 钢（含碳量0.10%-0.15%） 铝 康铜 银
当RX?RX?T0?时：
2UOt T?T0? (3.6)
b?01C1m1A 室温电阻率?0 （???m） 0.0172 0.10--0.14 0.028 0.47--0.51 0.016 电阻温度系数??oC?1? 43?10?4 6?10?3 42?10?4 ?0.04?0.01??10?3 40?10?4
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当RX?RX?T'?时：
T'?T0?2UOtb?01?1??T?C1m1A2?TUOt (3.7)
（3.6）式与（3.7）式相减得： T?T'?b?01?1??T?C1m1A (3.8)
0?4因为T?40C所以对于铜导线?T?4.3?10?40?0.0172即
T?T' ?100%?1.72% (3.9)
T所以温度变化很小。
综上所述电阻随温度的变化对感应线圈影响很小几乎可以忽略不计。 电阻的变化为：
?RX?T??1.69% (3.10) ?R?T?1X?T? 电阻的变化率也非常的小也可以忽略不计，所以可以得出：
其中：RX---为线圈的电阻 IX---为通过线圈的电流。
由于Rx近似为定值，所以电源输出电压一定时感应线圈中的电流可以看做是恒定的，相应的他产生的磁场也是恒定的。
3.2.2 线圈电流与电源输出功率的关系
由于感应线圈的材质为铜线所以其电阻为：
bRX??01 (3.12)
A所以线圈电流用电源的输出功率表示为：
UO?IX (3.11) RXIX?APO (3.13) b?01
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令线圈电流常数KX?Ab?01，则线圈的电可以简化为：
IX?KXPO (3.14)
这就是线圈电流与电源输出功率的关系。
3.2.3 电源输出功率与线圈磁感应强度的关系
感应线圈紧密的围绕在加热炉加热部分的外壁上，感应线圈中的某点的位置如图3-1所示。
ARBd1B1PB2L1 图3-2 某点P在线圈磁场中的位置
根据上图，列出线圈中某点的磁感应强度方程[14]：
??????111 B??0NIX??? (3.15) 222RR??1?1?22??BB12??其中：?0---真空磁导率 N---线圈匝数
IX---感应线圈中的电流 R---感应线圈的线绕半径 L1---加热炉加热部分的长度 B1---AP的距离 B2---BP的距离。
线圈中的磁场可以看做是均匀的，所以线圈内部每点的磁感应强度相等，这样就可以相对方便地计算出线圈内部的磁感应强度。
1?0N2R21?1?2L11?R2L12 B?IX (3.16)
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