西安石油大学本科毕业设计（论文）
结合方程(3.14)就可以得出线圈磁感应强度与电源输出功率的关系。
1?0N2R21?1?2L11?R2L12B?KXPO (3.17)
这就是感应线圈的数学模型，由于除电源的输出电流IW外，其他的各个参数都是定值，所以磁感应强度B是关于感应线圈中的电流IW的函数，感应线圈中的电流
IW是关于电源输出功率的函数，而电源的输出功率是关于时间的函数。所以电源输
出电流IW前的系数是一个常数。
3.2.4 感应线圈数学模型的简化
可以令KB为磁感应强度系数，他可以表示为：
1?0NKX2R21?1?2L11?R2L12 KB? (3.18)
所以线圈产生的磁感应强度可以简化为：
B?KBPO (3.19) 可以写成：
B2?KBPO (3.20)
2控制系统线圈部分可以表示为一个比例环节，其比例系数为KB2。
3.3 被加热材料涡流的数学模型
3.3.1 感应线圈与被加热材料涡流的关系
根据感应加热的原理可知，加热炉的感应线圈的内部产生的磁场，使置于其内部被加热材料表面产生涡流，从而达到加热的效果。
线圈产生的感应电动势[1]：
E?4.44f?M (3.21) 其中：f---电源的频率
?M---线圈内部的磁通量。 被加热材料表面产生的电流： IW?E RW (3.22)
17
西安石油大学本科毕业设计（论文）
其中：RW---被加热材料被加热部分的电阻。 结合方程(3.20)与(3.21)可得：
IW?线圈内部的磁通量为[26]:
?M???Bds?B?R2 (3.24) 结合方程(3.28)和(3.29)可以得出：
IW4.44f?M (3.23) RW4.44fB?R2? (3.25)
RW其中：B---感应线圈内部的磁感应强度 R---感应线圈的线绕半径。
3.2.2 被加热材料涡流的简化数学模型
根据上一小节可知被加热材料涡流是关于磁感应强度B及电源频率f的函数，而磁感应强度又是关于时间的函数。首先把RW看成是一个定值，则令涡流常数为：
KW?4.44?R所以方程（3.25）可以简化为：
IW?KWfB (3.27) 以上就是感应线圈与材料涡流的关系，从上式可以看出，被加热材料的发热功率与电源频率及磁感应强度的平方成正比。
电流的平方可以表示为：
22IW?KWf2B2 (3.28)
2RW (3.26)
所以当电源频率一定时，被加热材料涡流环节也可以简化为一个比例环节，其比
2f2。 例系数为：KW
3.3 被加热材料涡流与热功率的关系模型
被加热材料由于自身表面涡流产生涡旋电场，所以材料表面发热，其在单位时间内的发热量qw与表面涡流的关系如下：
2RW (3.29) qw?IW由上式可知，被加热材料在单位时间内的发热量与其表面涡流的平方成正比。且与材料的表面电阻有关。
根据被加热材料的涡流与发热量的关系，就可以知道被加热材料的自发热环节也
18
西安石油大学本科毕业设计（论文）
是一个比例环节，其比例系数为：RW
3.4 被加热材料电阻率随温度变化对系统的影响
3.4.1 材料被加热部分受温度影响下的电阻
根据感应加热的原理可知，加热炉的感应线圈的内部产生的磁场，使置于其内部被加热材料表面产生涡流，使其自身表面温度升高，从而达到加热的效果。
材料被加热部分的表面深度，也就是其涡流的趋肤深度为[14]：
??1???f (3.30)
其中各变量为：?---趋肤深度 f---电源的频率 ?---材料的磁导率 ?---材料的电导率。 所以材料被加热区域的截面积：
?d2?d1?? S????3???3???2?????f?2?????2?? (3.31) ?? 化简得：
?2d31??? (3.32) S???
?f???f?????? 其中：d3---被加热材料的直径 可以令KS1?2d3????而KS2?1则被加热材料的横截面积就可以简化为：
?? S?KS11f?KS21 (3.33) f下面给出了几种常用金属的电导率（如表3-2所示）及磁导率（如表3-3所示）以方便计算被加热材料的趋肤深度。
表3-2 几种金属材料的室温电导率[15]
金属材料名称 铜 钢（含碳量0.10%-0.15%） 铝 康铜 室温电导率?（S/m） 5.8?107 7.14?106~10?106 3.6?107 1.96?106~2.13?106 19
西安石油大学本科毕业设计（论文）
表3-3 几种金属材料的磁导率[25] 金属材料名称 铜 铸钢 铝 铁
根据电阻的性质有：
磁导率? 0.99999 1340 1.00002 4500 RW??1L3 (3.34) S其中：?1---被加热材料电阻率 L3---被加热材料的长度。
在不考虑电阻率随温度变化的情况下被加热材料的电阻可以表示为：
RW??0CL3 (3.35) S在考虑电阻率随温度变化的情况下，由方程（3.5）可以推导出：
RW??0C?1??TC?L3 (3.36) S被加热材料的温度TC是随时间变化的，被加热材料被加热部分的电阻RW可以表示为：
dT?L? RW??0C?1??C?3 (3.37)
dt?S?有上式可以知，RW可以看做是关于时间的函数。
3.4.2 受温度影响下的RW的简化值
由方程(3.31)可知截面积S是关于电源频率f的函数，它只与电源的频率有关，所以被加热部分的截面积可以写成：
S?g?f? (3.38) 根据方程(3.36)可知，材料的电阻RW可以看成是线性变化的，又知道被加热材料的温升?T?T3?T0，其中T3被加热材料的表面末温，所以可以根据表3-1所示的数
20
西安石油大学本科毕业设计（论文）
据计算出个材料在加热过程中的平均电阻率，这个平均电阻率就可以近似的表示为：
?T? ?C??0C??1??? (3.39)
2??其中?0C为被加热材料在室温下的电阻率。所以被加热部分的电阻可以写成：
?T?L3? RW??0C?1?? (3.40) ?2?g?f??对于某种特定的金属材料在锻造加热时其加热温度通常为一个确定的值所以温升可以看做是一个常数即，令材料电阻常数：
?T??KR?L3?0C?1??? (3.41)
2??在温度的影响下，被加热材料的被加热部分电阻可以简化为：
RW?KR (3.42) g?f?3.4.3 电阻随温度变化对材料涡流的影响
令M?f??f2g2?f?，结合方程(3.25)、(3.27)与(3.40)可得：
I2W19.7?2R42???MfB (3.43) 2KR令涡流电阻常数为：
19.7?2R4K1? (3.44) 2KR则电涡流的平方可简化为：
2?K1M?f?B2 (3.45) IW所以在电阻随温度变化的影响下，中频感应加热炉温度控制系统的材料（涡流）环节的传递函数变为了：K1M?f?
当电源的频率一定时，其材料涡流环节也是一个比例环节，令K2?K1M?f?，则
2IW?K2B2 (3.46)
这个比例环节的比例系数为：K2。
3.4.4 电阻随温度变化对材料自发热的影响
结合方程(3.28)和(3.41)可得：
2IWKR qw? (3.47)
g?f?21