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根据以上的推论，对于铜材料方程(3.65)中的KT可以写成：
KT?11 (3.73) ??4mCCCumC(0.385?1.71?10?TCu)铜材料的比热随温度变化对系统传递函数的系数KT的数值的影响取决于被加热材料的加热温度，这个温度对于铜材料在锻前热处理时是在一个小幅度变化的温度范围内的。
同理可得，加热钢材料时KT的值：
KT?11 (3.74) ?mCCSTmC(0.447?2.89?10?4?TST)钢材料的比热随温度变化对系统传递函数的系数KT的数值的影响取决于被加热材料的加热温度，对于钢材的锻前热处理来说，这个温度是一个低于其熔点200℃左右的温度，这个温度一般也是在某一很小的温度范围内。
所以在近似计算时对于某一种特定的材料其温升也可以近似看做定值。
3.7 中频感应加热炉温度控制系统的数学模型
3.7.1 温度控制系统的框图
根据本章第2小节到第6小节的计算推论可以得出中频感应加热炉温度控制系统各个环节的传递函数。图3-1的中PLC控制器的传递函数为GC(s)，电源部分是一个系数为Kpower的比例环节。则这个温度控制系统在受所有的扰动因素影响下的系统框图如图3-4所示。
Ug?e-P0UKpowerGC(s)K2BB2K22IWKqqW1QWKTTmS?1T 图3-4 中频感应加热炉温度控制系统的系统框图
图中，1. 控制器环节的传递函数为GC(s)； 2. 变频电源环节的比例系数为Kpower；
2 3. 线圈环节的比例系数为KB；
4. 材料(涡流)环节的比例系数为K2； 5. P材料（自发热）环节的比例系数为Kq；
1 6. I材料（自发热）环节的传递函数为G1(s)?；
TmS?1 7. 材料（热导）环节的比例系数为KT；
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8. 检测变送环节为增益为一的负反馈环节。
这个系统由PLC控制器的PID控制环节、一个惯性环节和五个比例环节组成，这些环节顺序作用环环相扣，每个变量都紧密相关，就构成了这个中频感应加热炉的温度控制系统。
3.7.2 中频感应加热炉温度控制系统的数学模型
中频感应加热炉温度控制系统的广义对象由感应加热线圈和被加热材料组成它的输入为电源的输出功率，输出为被加热材料的出口温度。所以综合前文得出这个广义对象的数学模型为：
T?KTKqK2K2BL1v0?PO(t)dt?K0 (3.75)
这个数学模型表明了电源输出功率与材料出口温度的关系。
qw与电源输出功率的关系为：
2qw?KBK2KqPO (3.76)
2K2Kq为加热炉的转换效率。 则??KB
3.7.3 中频感应加热炉温度控制系统的S传递函数
由3.1节可知，系统的开环传递函数为[28]：
G(s)?2KTKBK2KqKpowerTmS?1GC(s) (3.77)
2K2KqKpower则系统的开环传递函数可以简化为： 令比例系数K?KTKBG(s)?KGC(s) (3.78)
TmS?1这个闭环系统的反馈为单位负反馈，则闭环传递函数为：
?(s)?KGC(s) (3.79)
TmS?KGC(s)?1因此由这个广义对象就可以计算出特定的中频感应加热炉温度控制系统的数学模型及传递函数。这个系统受到材料的传送速度，材料的比热随温度变化以及电阻随温度变化这几个干扰因素的影响。
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3.8 本章小结
本章通过对中频感应加热炉温度控制系统的每一个环节进行分析，确定其各个环节输入输出的关系及扰动对系统的影响，从而得出广义上的系统模型。首先建立感应线圈的数学模型，然后得出材料涡流的数学模型，再研究材料涡流与发热功率的关系，再得出热功率与材料发热量的关系，进而得到发热量与温度的关系，按这样的步骤对系统进行分析，通过计算每一环节的作用，最终得出系统简化的开环传递函数为：
KG(s)?GC(s)这对于我们更好地分析中频感应加热炉的温度控制系统
TmS?1有很大的帮助。
这个系统的数学建模也就基本完成。
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4 某型号的中频感应加热炉温度控制系统数学模型
4.1 某型号中频感应加热炉结构
中频感应透热设备主要由中频电源和加热炉体两部分组成，为分体式结构，本文以额定功率为400KW的圆钢中频感应加热炉的温度控制系统为例，按照第3章得出的广义对象的数学模型计算出这个加热炉温度控制系统的数学模型。首先这个加热炉的结构如图4-1所示。
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图4-1 某圆钢中频感应加热炉结构
图中：①号为材料入口（即传送装置），可以不断地把被加热材料按一定的速度输送到加热炉中加热；
②号为加热炉的加热部分（即感应线圈部分），自身通电在炉膛内部产生磁场是材料被加热；
③号为加热炉的保温段，材料的表面被加热后通过它使材料充分透热； ④号为控制柜，里面有加热炉系统的控制装置；
⑤号为材料出口，经过加热及充分透热后的材料从这里输送至该材料的下一处理环节。
建立这个圆钢中频感应加热炉的温度控制系统的数学模型，为上文所推导出来的广义对象的数学模型给出具体的实例认证。定义这个圆钢加热炉名称为A加热炉。
4.2 A加热炉各参数及说明
选用的圆钢中频感应加热炉额定功率为400KW，电源输出电压为750V，电源的变频器的输入（即控制器的输出）信号为0-10V的直流电压，使用的加热频率段为
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4-5KHZ，这个加热炉是用来对钢材进行锻造前的热处理，钢材的始锻温度约为1100℃，所以使用的圆钢加热炉其被加热材料的出口温度设定为1100℃。
以下为这个系统的主要参数值：
表4-1 加热炉系统各参数值 参数名称 感应线圈横截面积 参数符号 A 参数值 213mm2 15.5m 感应线圈长度 b 感应线圈电阻率 ? 线圈匝数 加热段长度 加热段直径 保温段长度 保温段直径 N L1 d1 L2 d2 0.0172???m 30 500mm 180mm 800mm 180mm 被加热材料长度 L3 被加热材料直径 d3 炉膛的直径 R 真空磁导率 材料传送速度
?0 v 100mm 160mm 90mm 4??10?7N/A 10mm/s 控制器的输出信号为0-10V的直流电压信号，而电源输出为400KW的功率信号，所以系统的电源比例系数Kpower取40，可控制器输入为1-5V电压信号，而其输出为0-10V的电压信号，所以控制器的传递函数为：
GC(s)?KC?2 (4.1)
钢材的密度?[27]
为：7850Kg/m3，则被加热材料的质量mC为：
2?d? mC???3?L3??15.775Kg (4.2)
?2?做近似计算时设室温T0为20℃，材料末温为1100℃，根据方程(3.66)得出在考虑材料比热随温度变化时，被加热圆钢在炉膛内的平均比热容为：
CST?0.447?2.89?10?4?1100?20??0.759KJ/Kg?℃ (4.3)
根据方程(3.31)得出在电源频率为5KHZ时，圆钢材料的被加热面积为：
?2d31S?????f???f????
???0.022mm2 (4.4) ??31