第二节 三角函数的图像与性质
题型50 已知解析式确定函数性质
1.（2013江西理11）函数y?sin2x?23sin2x的最小正周期为T为 ． 2.（2013江苏1）函数y?3sin?2x???π??的最小正周期为 . 4????的图像向右平移个单位长度，所得图像对应?23?3.（2014 辽宁理 9）将函数y?3sin?2x?的函数（ ）.
??A．在区间
??7????7??上单调递减 B．在区间,,?上单调递增 ???12121212????????????,?上单调递减 D．在区间??,?上单调递增 ?63??63?π??的最小正周期是（ ）. 6?C．在区间??4.（2014 陕西理 2）函数f?x??cos??2x??A.
π B. C. 2π D. 4π 25.（2014 新课标2理14）函数f?x??sin?x?2???2sin?cos?x???的最大值为 .
5.（2014 福建理 16）（本小题满分13分）已知函数
1f?x??cosx?sinx?cosx??.
2 （1）若0???2π，且sin??，求f???的值； 22 （2）求函数f?x?的最小正周期及单调递增区间. 6.（2014 湖北理 17）（本小题满分11分） 某实验室一天的温度（单位：f?t??10?3cos）的变化近似满足函数关系： C）随时间（单位：
ππt?sint，t??0,24?. 1212（1）求实验室这一天的最大温差；
（2）若要求实验室温度不高于11C，则在哪段时间实验室需要降温？
7.(2015安徽)已知函数f?x??Asin??x???（A，?，?均为正的常数）的最小正周期为?，
当x?2?时，函数f?x?取得最小值，则下列结论正确的是（ ）. 3A. f?2??f??2??f?0? B. f?0??f?2??f??2? C.f??2??f?0??f?2? D. f?2??f?0??f??2?7.解析 因为T??，所以??2，所以f?x??Asin?2x???． 因为当x?所以??当2x?
2?2?3?????2k?， 时，f?x?取最小值,所以2?332?????2k??k?Z?，所以f?x??Asin?2x??． 66???????2k?时，即x??k?时，f?x?取最大值． 626下面需判断,?2,与最近的最高点处的对称轴的距离,距离越大,相应的函数值越小， 如图所示，
y2－5π6-2Oπ6x因为0??????????0.52，2??1.48，?2?????0.62， 666?6?
所以f?2??f??2??f?0?．故选A．
8.（2015四川）下列函数中，最小正周期为且图像关于原点对称的函数是（ ）. A. y?cos?2x???π?π??y?sin2x? B. ???
2?2??C. y?sin2x?cos2x D. y?sinx?cosx 8.解析 由T?2π?，可知选项A，B，C的周期都是，选项D的周期为2π.
通过化简可得，选项A： y??sin2x，为奇函数； 选项B为：y?cos2x，为偶函数；
选项C为：y?π??2sin?2x??，为非奇非偶函数.故选A.
4??29.（2015浙江）函数f(x)?sinx?sinxcosx?1的最小正周期是 ，单调递减区间
是 ． 9.解析 因为f(x)?所以T?1?cos2x12π?3??sin2x?1?sin?2x???， 2224?2?2πππ3π3π7π?π. 所以2kπ?剟2x?2kπ?剟xkπ?,k?Z. ，即kπ?224288所以单调递减区间是?kπ???3π7π?,kπ??,?k?Z?. 88?xxx2sincos?2sin2.
22210.（2015北京）已知函数f?x??（1）求f?x?的最小正周期；
（2）求f?x?在区间??π,0?的最小值. 10.解析 （1）f?x??2sinxx1?cosx222cos?2??sinx?cosx?? 222222π?2?，函数f?x?的最小正周期T?2π. sin?x???4?2?（2）当?π剎x?0时，?3ππ剟x?44ππ??，?1剟sin?x??44??2，函数f?x?在区间 2??π,0?的最小值为?1?2. 2?22?,?， ??2??211.（2015广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m??????n??sinx,cosx?,x??0,?.
?2?(1) 若m?n，求tanx的值； (2) 若m与的夹角为
?，求的值. 3?22?11.解析 （1）因为m???2,?2??，n??sinx,cosx?，且m?n，
???22?22mn?,?sinx,cosx???所以??sinx?cosx?， ?2?2?22?所以sinx?cosx，所以tanx?sinx?1． cosx
（2）由（1）依题知
cos?mn??223mn?2??2??????22???????sin?x??4??sin2x?cos2x????sin?x??
4?，?所以sin?x?????1???????5??x???,x??x?．又因为，所以，即． ???4?24?44?12462212.（2015天津）已知函数f?x??sinx?sin?x?（1）求f?x?最小正周期； （2）求f?x?在区间????π??，x?R. 6??ππ?,?上的最大值和最小值. ?34?12.分析 (1) 利用两角和与差的正余弦公式及二倍角的正余弦公式化简函数的解析式，由三角函数性质可求最小正周期；(2)先写出函数的单调区间，即可求函数的最大值与最小值.
π??1?cos?2x??1?cos2x3? ?解析 (1)由已知，有f?x????22?11?13311?π?cos2x?sin2x?cos2x?sin2x?cos2x?sin2x?????， ?22?224426????所以
f?x?的最小正周期T?2π?π.
2?ππ??ππ??，?(2)解法一：因为f?x?在区间?上是减函数，在区间??，?上是增函数， ??36??64?1?π?f?????，
4?3?1?π?f?????，
2?6??ππ?3?π?，所以f?x?在区间??，?上的最大值 f????34??4?431是，最小值是?.
42解法二：由?π剟x3π2π剟2x，得?43π5ππ剟2x?，?266π， 3π???1剟sin?2x??6??当x??13，?剟f?x?2 23. 43ππ时，f?x?取得最小值?1，当x?时，f?x?取得最大值为. 644?π??x?sinx?3cos2x?2?
13.（2015重庆）已知函数f?x??sin?
（1）求f?x?的最小正周期和最大值； （2）讨论f?x?在?,?π2π?上的单调性. ??63?113sin2x?3cos2x?sin2x??1?cos2x?? 22213.解析 （1）f?x??133??3?. sin2x?cos2x??sin?2x???2223?2?因此f?x?的最小正周期为?，最大值为1?（2）令2kπ?3. 2ππ剟2x?232kπ?ππ剟x，k?Z，得kπ?122kπ?5π，k?Z， 12所以f?x?的单调递增区间为?kπ???π5π?,kπ??，k?Z. 1212?5π11π?,kπ?，k?Z. 1212??同理，f?x?的单调递减区间为?kπ???故当x??,?π2π??5π2π??π5π?,?上单调递减. ,fx时，在上单调递增，在???????63??123??612?14.（2016山东理7）函数f(x)?(3sinx?cosx)(3cosx?sinx)的最小正周期是（ ）. A．
π3πB． C．D．2π
2 2
??14. B解析 由f(x)?2sinxcosx?3??cosx?2??sinx?2??sin2x?3cos2x?
π??
2sin?2x??，所以最小正周期是π. 故选B.
3??
15.（2016浙江理5）设函数f(x)?sinx?bsinx?c，则f(x)的最小正周期（ ）. A.与有关，且与有关 B.与有关，但与无关 C.与无关，且与无关 D.与无关，但与有关
215.B 解析f(x)?sinx?bsinx?c?21?cos2xcos2x1?bsinx?c???bsinx?c?，222y?cos2x的最小正周期为π，y?sinx的最小正周期为2π.当b?0时，
f(x)??当
cos2x1?c?,此时f(x)的最小正周期是π； 22c为常数项不
b?0时，此时f?x?的最小正周期为2π.所以b影响f(x)的最小正周期，而
影响
f(x)的最小正周期.故选B.
16．（2016上海理7）方程3sinx?1?cos2x在区间?0,2π?上的解为 ． 16．
π5π
,解析 由3sinx?2?2sin2x，即2sin2x?3sinx?2?0， 66
1. 2所以?2sinx?1??sinx?2??0，故sinx?由于x??0,2π?，故x?π5π,． 6617．（2016江苏9）定义在区间?0,3π?上的函数y?sin2x的图像与y?cosx的图像的交点个数是 ．
17.7解析 解法一（图像法）：画出函数图像草图，共7个交点．
y1O-1
解法二（解方程）：即解方程sin2x?cosx，即2sinxcosx?cosx. 所以cosx?0或sinx?时，x?π2π3πx1?????1,3π?．,inx?，由x??0当c；当sosx?0时，x?,22222?????????,,,． 6666共7个根，即共7个交点．
18.（2016天津理15）已知函数f?x??4tanxsin?π??π???x?cos?x???3. 3??2??ππ（1）求
??f?x?的定义域与最小正周期；（2）讨论f?x?在区间??,?上的单调性.
?44?18.解析 （1）f?x?的定义域为?xx???π??kπ,k?Z?. 2?π?π???f?x??4tanxcosxcos?x???3?4sinxcos?x???3?3?3????1?324sinx?cosx?sinx?3?2sinxcosx?23sinx?3???2?2??